El cálculo infinitesimal: llave de la
mecánica en el fecundo siglo XVII.
Explicar
el cálculo infinitesimal como un gran paso de la humanidad requiere presentarlo
como un devenir. Su pasado se aprecia como una acumulación de avances de
diverso alcance realizados aquí y allá por la comunidad matemática (entendida
como corresponde a cada época). Llegado el momento, cristalizan en el lugar más
abonado como un presente creativo protagonizado por las mentes más geniales
que, meditando sobre el material acumulado, ven más y mejor que quienes les
precedieron y sus contemporáneos. El presente creador del cálculo infinitesimal
se produjo en el último tercio del siglo XVII y los colosos protagonistas
fueron el inglés Isaac Newton (1642-1727) y el alemán Gottfried W. Leibniz
(1646-1716).
En
este breve ensayo no será posible entrar en detalles, comparar las ideas clave
de Newton (cinemáticas) con las de Leibniz (combinatorias), ni mucho menos en
dar noticia puntual de la sucesión temporal de los logros de cada uno y de la
polémica sobre prioridad que los británicos provocaron.
Tras
los fundadores, enseguida llegó un futuro en el que las aplicaciones del
cálculo infinitesimal justifican que se le califique como un gran paso de la
humanidad, que fue la llave para otros muchos progresos en diferentes ámbitos
del conocimiento y la práctica.
Sin
minusvalorar los avances del siglo anterior, el siglo XVII fue decisivo para la
ciencia en Europa, se produjeron cambios profundos en la visión del mundo y en
la capacidad humana para intervenir en la naturaleza. Avances técnicos y logros
teóricos se realimentaron para llevar a cabo una revolución científica. El
estudio científico del movimiento fue uno de los logros cruciales. El
movimiento de los planetas, de los proyectiles, de las máquinas, alcanzó una
formulación matemática gracias a una nueva herramienta: el cálculo
infinitesimal. No solo hizo posible la mecánica, también propició los estudios
del cambio continuo en todo tipo de problemas físicos, de la probabilidad, la
economía, la biología, etc.
Primeras preguntas.
¿Qué es
el cálculo infinitesimal? Habrá que ir contestando a esta pregunta por
aproximaciones sucesivas y considerando sus partes más sencillas que permitan
apreciar su esencia sin demasiados tecnicismos. Vendrá bien proceder con esa
visión genética que sostiene que para entender mejor conviene no perder de
vista el proceso histórico.
¿Qué
es el cálculo? Un cálculo es una piedra, los pastores antiguos ponían piedras
en una cesta para contar ovejas. Distribuyendo piedras en diversos recipientes
se realizaban cálculos numéricos (sumas, restas, etc.), para los que el
instrumento preferido fue durante muchos siglos el ábaco. Cuando llegó el
álgebra, las ecuaciones se resolvían haciendo cálculos (cuentas) con los datos
conocidos hasta obtener el valor de la incógnita. Estos cálculos numéricos y
algebraicos se hacían con cantidades finitas y mediante un número finito de
operaciones con ellas.
¿Qué
significa infinitesimal? Lo infinitesimal es lo infinitamente pequeño, lo
inverso de lo infinitamente grande. Sumando 1 sucesivamente con
mucha paciencia, los números n se van haciendo infinitamente grandes, mientras que sus
fracciones inversas 1/n se van haciendo
infinitamente pequeñas. Algunas sumas de sumandos que se van haciendo
infinitamente pequeños crecen hasta un tope, como los inversos de las potencias
sucesivas de 2:
(1/2)+(1/4)+(1/8)+(1/16)+····+1/2n)+···
Los
matemáticos no dudan en dar el valor 1 a esta suma
infinita, porque si primero recorro la mitad del camino, luego avanzo la mitad
de lo que queda y así sucesivamente, está claro que me acercaré a 1
todo lo que quiera y en ese infinito final llegaré a 1.
Los griegos clásicos ya conocían esta suma y otras análogas con su método de exhaución, que utiliza una
reducción al absurdo: para demostrar que una suma infinita es igual a 𝑆 se prueba que no
puede ser menor que S
ni mayor.
Por
aquí empieza el cálculo infinitesimal, sumando infinitas cantidades que se van
haciendo infinitamente pequeñas. Las partes de la magnitud discreta se cuentan con
una unidad indivisible, pero en las magnitudes continuas hay posibilidad
ilimitada de crecer y de dividirse. La esencia del cálculo infinitesimal está
en el estudio del continuo, del espacio y del tiempo de la geometría como
sustrato de física (con otras magnitudes continuas como el peso, la
temperatura, la presión, etc.).
Arquímedes.
El gran
Arquímedes usó una suma infinita para cuadrar
un segmento de parábola, que es el área entre la parábola y una cuerda. Cuadrar
significa comparar un área con otra.
Arquímedes
encontró la razón entre el área S
del segmento y el área T
de un triángulo asociado: cada cuerda determina una tangente paralela y un
triángulo de lado la cuerda y vértice opuesto el punto de tangencia. Este fue
su argumento: El triángulo deja otros dos segmentos, uno a cada lado, cada uno
con su triángulo que, por propiedades de la parábola, resultan tener áreas
iguales a T1=(1/8)T. El área del primer
triángulo 𝑇
más
los dos T1
vale T+(1/4)T=(1+(1/4))T.
Para
completar S quedan cuatro
segmentos cada uno con su triángulo: resultan de nuevo todos iguales a T2=(1/8)T1=(1/82)T . Las áreas de los siete triángulos que van llenando
𝑆 suman (1+(1/4)+(1/42))T. Continuando indefinidamente la suma de
triángulos hasta dejar “exhausto” 𝑆, Arquímedes alcanza
la suma ilimitada
S=(1+(1/4)+(1/42)+(1/43)+···+(1/4(n^n))+···)T=(4/3)T.
El
método que usó para llegar a 4/3 tuvo una parte
heurística con inspiración en la estática (ley de la palanca) y luego una
prueba matemática del resultado por el método de exhaución. Arquímedes hizo una
segunda demostración por un método de aproximación por defecto y por exceso que
usaron sus seguidores del siglo XVII.
Otras características de los “métodos
infinitesimales” aparecen en el estudio de la espiral, curva que el sabio de
Siracusa definió mediante movimientos: un segmento OA de longitud R gira alrededor de O con movimiento
uniforme, de modo que A
describe una circunferencia Γ de centro O y radio R. Al mismo tiempo, un
punto P se mueve en el segmento OA partiendo de O con movimiento
uniforme para ir hasta A
mientras OA da la primera
vuelta. En cada punto P
de la espiral, el radio vector OP tiene una longitud r igual al arco Ɵ girado medido en
radianes (ecuación r=Ɵ en coordenadas
polares); al completar la vuelta se alcanza el valor R=2π. Usando ideas que se
consagraron como intuiciones básicas sobre lo infinitesimal, Arquímedes
resolvió dos problemas con esta curva:
-Cuadrar el área barrida por el segmento OP en la primera
vuelta.
-Trazar
la tangente en cada punto.
Comparó
el área 𝐸 limitada por la espiral y el segmento OA con el área C del círculo limitado
por Γ. Tomó el área E
como suma de sectores desde el vértice O hasta arcos “muy pequeños” de la espiral,
que pudo acotar mediante sectores circulares de radios los de los extremos del
arco de espiral. Dividiendo la vuelta completa en n partes iguales, el sabio de Siracusa encontró
una acotación
(s(n)/n3)<(E/C)<(S(n)/n3),
usando una
suma que sabía calcular,
S(n)=12+22+32+···+n2=(1/6)n(n+1)(2n+1),
y su
versión corta
s(n)=S(n-1).
Ambas cotas verifican
(s(n)/n3)<(1/3)<(S(n)/n3)
y la diferencia
entre ellas es cada vez menor cuando n
crece y la partición se hace más fina, así que en la posición última será
(E/C)=(1/3)
La
cuestión del trazado de la tangente es aún más interesante. Los griegos tenían
una noción intuitiva de tangente: la recta que “solo toca” a la curva en un
punto. Con esta idea, la tangente a la circunferencia en un punto es la
perpendicular al radio, así quedó explicado en Elementos, la gran obra de Euclides (s. –IV/III). Más avanzado,
Apolonio (s. –III) mostró cómo trazar las tangentes a las cónicas, combinando
tangentes y normales con cuestiones de distancias máximas y mínimas.
Por
su parte, Arquímedes halló la tangente en un punto P de su espiral dando un incremento ε “muy pequeño” al
ángulo Ɵ, lo que lleva a un
punto Q de la espiral “muy
próximo” a P (en la Fig. 5 está
exagerada la separación). Se tiene por otra parte el arco PR correspondiente a ε pero tomado en la
circunferencia de radio OP=r, así que PR=rε. El triángulo PRQ tiene un lado recto QR=ε y los otros dos
curvos, siendo rectángulo en R
y con ángulo α
en P (los ángulos
formados por las curvas son los de sus tangentes) así que la perpendicular a OP por O cortará a la
tangente a la espiral en P
formando ángulo α
en un punto T
con el segmento OT de longitud t. Arquímedes aplica
la semejanza de los triángulos QRP
y POT para obtener una
razón de arcos igual a una razón de segmentos: (QR/RP)=(PO/OT). Este argumento es
muy osado, porque uno de los triángulos es curvilíneo, pero Arquímedes se
siente autorizado al ser ε
“muy pequeño”, de modo que el arco es “casi recto”, es “casi igual” al segmento
de la tangente. Resulta pues (ε/rε)=(r/t), es decir, t=r2, y la tangente PT queda determinada.
Así,
con un argumento bastante atrevido, gracias a una intuición acertada sobre lo
infinitesimal, logró un resultado que evaluamos como correcto con los métodos
exactos actuales.
Arquímedes
usó también estas habilidades para comparar volúmenes de cilindros, conos y
esferas, pero la matemática griega no pudo avanzar más en esta dirección que
tan brillantemente inició el siracusano. Aquella matemática fue apta para la
estática pero no para el movimiento, hubo que esperar hasta que una acumulación
de nuevos saberes propiciara la aparición del cálculo infinitesimal.
Tiempo de espera fructífero.
Tras el
esplendor de la Grecia helenística, el periodo medieval europeo fue escaso en
nuevas especulaciones, pero muy rico en experiencias prácticas. El saber griego
también se transmitió a Oriente y desde allí llegaron nuevas aportaciones
decisivas a través de los árabes, que descargaron su riqueza científica en el
norte de África y en la Península Ibérica. Las ciudades-estado italianas usaron
las rutas comerciales con Oriente para importar también conocimiento.
En
los comienzos del siglo XVII, Galileo inició el estudio científico experimental
del movimiento. Calcular tangentes y áreas tiene que ver con el movimiento,
basta pensar que las curvas son las trayectorias por las que circulan los
puntos que estudia la cinemática y las tangentes marcan en cada punto de la
curva la dirección instantánea del movimiento. Torricelli, Cavalieri, Mengoli,
Roberval, seguidores de Galileo, se inspiraron en los métodos de Arquímedes para
avanzar en la determinación de tangentes, áreas y volúmenes, calculando sumas
infinitas y aplicando composición de movimientos en las curvas engendradas por
algún tipo de mecanismo.
Cavalieri
imaginó que un área es engendrada por un segmento de extremos variables que se
mueve paralelo a sí mismo y que todas esas líneas eran las partes indivisibles
de la superficie (como el punto es la parte indivisible de una longitud), de
modo que el área era la “suma de todas las líneas” y áreas “con las mismas
líneas” (o proporcionales) eran iguales (o proporcionales). Lo mismo sucede con
los volúmenes, son “sumas de áreas”. Con estas ideas, habilidad intuitiva y no
poca destreza en los argumentos y cálculos, obtuvo una cantidad notable de
relaciones entre áreas y volúmenes.
El
vínculo de las áreas con el movimiento tuvo un exponente magnífico en la
segunda ley de Kepler (1609): Cada planeta se mueve siguiendo una elipse en uno
de cuyos focos está el Sol y lo hace con velocidad variable, de manera que
permanece constante el área barrida por el segmento que lo une con el Sol en
intervalos iguales de tiempo. Las leyes de Kepler surgieron de una inducción
genial a partir de las meticulosas observaciones tabuladas por Tycho Brahe, al
mismo tiempo que Galileo inventaba el telescopio que mejoraría las
observaciones. La segunda ley se refiere a velocidades medias, espacios
recorridos en tiempos determinados, pero no a velocidades instantáneas,
concepto reservado al cálculo infinitesimal que el propio Kepler vislumbró y
ayudó a descubrir.
Los
matemáticos posteriores objetaron la falta de homogeneidad de las sumas de
Cavalieri: no se puede, decían, sumar líneas para obtener áreas, para obtener
áreas hay que sumar áreas, aunque sean “muy pequeñas”, partes
“infinitesimales”. En esta cuestión se aprecia, como sucedió en la Grecia clásica,
que tras la matemática hay una filosofía subyacente.
Galileo dijo que el universo estaba escrito
en lenguaje matemático cuando este se iba diferenciando del de los griegos,
pues aparecieron dos nuevos lenguajes, uno para la aritmética y otro para el
álgebra, que encontraban en la imprenta un enorme cauce de difusión nunca
conocido antes:
-El sistema de numeración decimal.
-El
lenguaje simbólico del álgebra.
El
sistema decimal importado de Oriente permitía calcular mediante algoritmos
eficaces y llevó a sustituir el ábaco por las primeras máquinas de calcular,
aparecidas en el siglo XVII gracias a Pascal y a Leibniz, sin olvidar a los
artesanos que las construían. Los inconmensurables que torturaron a los griegos
dejaron de ser intratables, domesticados como irracionales con desarrollo
decimal ilimitado no periódico, se usaban sin pudor aunque sin conocer
demasiado bien su entidad conceptual.
El
lenguaje simbólico algebraico se fue gestando a través de numerosas
iniciativas, llegó a tener una gran eficacia en manos de Vieta (s. XVI/XVII),
cuya pauta siguió Fermat, pero alcanzó la formulación definitiva gracias a
Descartes, que por algo era filósofo. Con este lenguaje simbólico, nuevas
oportunidades de desarrollo se abrieron para el álgebra.
Naturalmente,
estamos hablando del conocimiento nuevo que se genera en el pequeño grupo de
sabios, cada vez más comunicados entre sí, pero los caminos y las velocidades
de difusión de este conocimiento hacia capas sociales más amplias requeriría un
estudio específico.
La geometría analítica.
En el
ambiente descrito antes, pasado el primer tercio del siglo XVII, René Descartes
(1596-1650) y Pierre de Fermat (1601-1665) identificaron una buena cantidad de
curvas algebraicas, aquellas cuya definición como lugar geométrico se puede
escribir de la forma F(x, y)=0, siendo F un polinomio que liga a los dos números variables (x, y) que determinan la
posición de cada punto de la curva. Así, Fermat demostró que las cónicas de
Apolonio se corresponden exactamente con las curvas de ecuaciones cuadráticas
F(x, y)=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0.
Por
su parte, Descartes resolvió el llamado problema de Pappus, que pedía
determinar una curva como lugar geométrico a partir de ciertas rectas, algo que
nadie antes supo hacer. La solución consistió en dar las ecuaciones de la
curva, que podría ser de grado arbitrario según el número de rectas dadas; a
partir de las ecuaciones, el álgebra se encargaría de extraer las propiedades
de la curva.
Con
el tiempo, esta geometría que usa el álgebra recibió el nombre de geometría analítica.
El
matemático hispano-argentino Julio Rey Pastor (Logroño 1888 – Buenos Aires
1962) escribió en un ensayo de 1919 que los “caminos cardinales” por lo que la
matemática “amplía sin cesar patrimonio” son la generalización, la
especialización, la correlación y, como camino principal, “la anastomosis de
problemas”, porque “los progresos esenciales corresponden a la feliz cópula de
dos conceptos que parecían lejanos e independientes, y al librarlos de su
envoltura formal descubren tal identidad de substancia, que se anastomosan y
hasta se funden en uno solo. La Geometría analítica de Cartesio, origen de la
Matemática moderna, realizó brillantemente esta anastomosis del Álgebra con la
Geometría.” Con ella se trataron viejos problemas de un modo nuevo y se
abordaron otros hasta entonces imposibles.
Descartes
dio forma matemática a la idea vaga imperante de recta tangente a una curva algebraica,
identificando la tangencia con la existencia de una raíz doble de la ecuación
que resulta al cortar la recta con la curva. También introdujo el método de los
coeficientes indeterminados para resolver los problemas de Apolonio sobre las
normales a las cónicas y extender el tratamiento a otras curvas. Pero los
métodos cartesianos tuvieron sus limitaciones, escapaban a su análisis
numerosas “curvas mecánicas” a las que no se podía dar una ecuación algebraica.
Nuevas funciones tenían que aflorar y nuevos métodos generales válidos para
todas ellas. Un compatriota contemporáneo, De Beaune, propuso a Descartes
determinar una curva conociendo datos acerca de sus tangentes; este tipo de
problemas eran todavía inaccesibles, faltaba el cálculo infinitesimal.
Últimos precursores.
Una
curva mecánica famosa fue la cicloide, descrita por un punto de la
circunferencia que rueda sobre una recta. Roberval, Descartes y Huygens se
ocuparon de estudiarla.
El
primero de ellos determinó mediante composición de movimientos la tangente en
cada punto y, siguiendo la técnica de “indivisibles” de Cavalieri, demostró que
el área bajo un arco de cicloide es tres veces el área del círculo rodante que
la engendra. En la Fig. 6, el área entre la cicloide OPFGN y la curva compañera
OQAHN es igual a medio
círculo generador, porque ambas figuras tienen las mismas líneas: TR=PQ, BC=FA, IJ=GH, etc. El área del
triángulo rectángulo OLN,
de base media circunferencia y altura el diámetro, es igual a la del círculo, y
cambiando la hipotenusa ON
por la curva compañera el área es la misma por compensación. Luego el área bajo
media cicloide es vez y media la del círculo.
Fermat
abordó desde la geometría analítica el cálculo con infinitesimales de
Arquímedes, logró repetir con ecuaciones el cálculo del área del segmento de
parábola y extender el método a otras curvas. Calculó un área complementaria
mediante la aproximación por defecto y por exceso en rectángulos “muy
pequeños”. Al hacerlo así, pudo extender el cálculo con la parábola ordinaria y=x2 a la parábola
generalizada y=xk, con k un entero mayor que 2
(incluso una fracción). Para calcular el área que limita esta curva con el eje
de abscisas y las ordenadas x=0, a, dividió el segmento
base en n partes iguales para
obtener rectángulos por exceso y por defecto cuya suma acota el área que busca,
(s(n)/nk+1)<(1/(k+1)<(S(n)/nk+1),
mediante
unas sumas más generales que las de Arquímedes:
S(n)=1k+2k+3k+···+nk, s(n)=S(n-1).
Estas
fórmulas, deducidas del triángulo aritmético mediante inducción, eran conocidas
por otros contemporáneos como Pascal, quien tenía un contacto epistolar
frecuente con Fermat. Al final de los cálculos, haciendo n cada vez más grande
y los rectángulos a sumar “infinitesimales”, Fermat obtiene para el área bajo
la parábola de orden k
el valor (ak+1)/(k+1). También aplica estos métodos a las
hipérbolas generales y=1/k, pero esta vez
dividiendo la abscisa en intervalos en progresión geométrica.
De
la lectura de Apolonio y Arquímedes, obtuvo también Fermat un modo muy general
de plantear el problema de la tangente vinculándolo a cuestiones de máximos y
mínimos. Si una curva tiene ecuación y=f (x) referida a un eje de abscisas OX, para conocer la
tangente a la curva en uno de sus puntos P que se proyecta en P '
sobre el eje de abscisas, Fermat busca otro punto T en el eje de abscisas tal que PT sea la tangente; lo
hace calculando la longitud t
de la subtangente P 'T de este modo: Del
punto P '
de abscisa x se desplaza a un
punto “muy próximo” Q ' cuya abscisa será x+e, siendo e un incremento “muy pequeño”, un
“infinitesimal”. Q ' será la proyección de un punto Q de la curva, con
ordenada f (x+e)
y también de un punto R
sobre la tangente en P.
Ya que el incremento e
es “muy pequeño”, Fermat trata “como iguales” los puntos Q,R, es decir, son “como
iguales” el arco de curva PQ
y el segmento de tangente PR;
así que concluye por semejanza de triángulos f (x+e)/f (x)=
(t+e)/t, es decir,
tf (x+e)=(t+e)f
(x).
De
esta relación elimina el incremento e,
en los casos particulares que considera, realizando un “álgebra de
infinitesimales” peculiar, en la que e
se comporta en las operaciones como un número e≠0 pero que finalmente
se anula. Por ejemplo, para la parábola y=x2:
t(x2+2ex+e2)=(t+e)x2, 2tx+te=x2, 2tx=x2, t=x/2.
Además
de los matemáticos europeos continentales mencionados, también británicos como
Gregory, Wallis o Barrow, hicieron avances similares en el cálculo de tangentes, áreas, volúmenes y también longitudes de
curvas. Barrow resaltó el cociente
incremental que da la pendiente de la tangente, con la notación anterior es
D=(f (x+e)
- f (x))/e .
Se
trata de una de las expresiones clave del cálculo infinitesimal, debía tener un
valor explícito aunque su expresión dependiera del incremento e infinitesimal
arbitrario. Calculando a la manera de Fermat, para la parábola y=x2 resulta D=2x+e=2x. Desprovisto del
incremento infinitesimal e,
este cociente incremental es lo que ahora llamamos la derivada yʼ=2x. Análogamente, la
derivada de y=xn es yʼ=nxn-1.
Newton y Leibniz.
Llegado
el último tercio del siglo XVII, del grupo de matemáticos herederos de Arquímedes
que calculaban con los infinitesimales, emergieron dos más penetrantes que
fundaron al fin el cálculo infinitesimal: Newton y Leibniz. En el escritorio de
estos genios, el cálculo infinitesimal se originó al concebir el cálculo de
tangentes y de áreas de manera unitaria. El método de calcular tangentes fue
llamado cálculo diferencial y el de
calcular longitudes, áreas y volúmenes cálculo
integral, estas son las dos partes que se anastomosan para formar el
cálculo infinitesimal.
El
cálculo diferencial recibe este nombre porque Leibniz llamó diferenciales (diferencias pequeñas) a
los pequeños incrementos de una variable x y los designó dx (otra vez un filósofo acertando con el signo
conveniente). Así, cuando en la relación y=f (x) la cantidad variable
x recibe un incremento
diferencial pasando a ser x+dx, la variable
dependiente y
pasa de f(x) a f (x+dx)
siendo
(dy/dx)=(f
(x+dx) - f (x))/dx.
Se
dice que la derivada y ʼ=f ʼ(x) “es igual a” dy/dx una vez que este
cociente incremental se ha calculado como un número determinado en función solo
de x, eliminando las
diferenciales, lo que Newton y Leibniz hicieron en un principio usando la misma
“álgebra de infinitesimales” que Fermat.
Newton
pensaba que las variables eran siempre dependientes del tiempo y al producirse
un cambio infinitesimal en el tiempo cambiaban de un modo lineal, apareciendo
la derivada como coeficiente: se pasaban de x(t) en el instante t a ser un “momento” después
x(t+o)=x(t)+ẋ(t)o.
Newton
denotaba o al pequeño
incremento del tiempo t
y escribía ẋ para la derivada, a la que llamaba la fluxión de la cantidad x que fluye. Además, imaginaba la tangente
como un secante que cortaba a la curva en dos puntos muy próximos que se
confundían en uno.
En
el cálculo de áreas, de nuevo el filósofo Leibniz acertó con el signo adecuado:
expresó el área limitada por la curva y=f (x) el eje de abscisas y
las ordenadas x=a,b, de la forma ∫abf dx donde el símbolo ∫
representa la inicial “s” estilizada de la palabra “suma”, recordando la visión
del área como “suma de líneas” que tuviera Cavalieri. Con esta notación, el
resultado de Fermat comentado antes se escribe
∫oa xk dx=(ak+1)/(k+1).
Donde
Newton y Leibniz marcaron la diferencia con sus predecesores y contemporáneos
fue en producir la anastomosis entre el cálculo diferencial y el integral, usando
la nueva visión del cálculo infinitesimal para resolver problemas hasta
entonces sin solución. La esencia de la anastomosis radica en la consideración
de la integración (áreas) como operación inversa de la derivación (tangentes) a
través de lo que se dio en llamar el teorema
fundamental del cálculo, un resultado que conocía Barrow, maestro de
Newton, pero le pasó desapercibida su crucial importancia, siendo para él uno
más en el bosque de sus teoremas geométricos.
Viendo
el área bajo la curva y=f (x) como una magnitud variable
A(x)=∫ax f dx,
Newton
y Leibniz consideraron como una cuestión de principio, que cada uno argumentó a
su manera, que la derivada de esta función es la función inicial: Aʼ(x)=f (x). Como al derivar la
suma de constantes no cuenta, cualquier función F (x) que verifique F ʼ(x)=f
(x) (llamada primitiva de f (x) y denotada ∫f dx)
servirá para calcular la integral mediante el teorema fundamental del cálculo:
∫ab f dx=F(b) - F(a).
Para
cerrar el proceso de invención del cálculo infinitesimal falta saber calcular
derivadas y primitivas de funciones. Esto estaba claro con los polinomios,
basta saber hacerlo con el caso simple y=xk, ya conocido por
Fermat y otros incluso con exponentes fraccionarios.
Pero
en tiempos de Newton y Leibniz iban apareciendo otras relaciones funcionales,
no solo las fracciones y las raíces con polinomios, también las vinculadas al
trabajo que los astrónomos hacían para la navegación, los senos y cosenos junto
con otras razones trigonométricas y sus inversas. A ellas se añadieron a lo
largo del siglo XVII los logaritmos, creados por el astrónomo Napier y el
relojero Briggs a principios del siglo y más tarde relacionados con las áreas
bajo la hipérbola y=1/x por matemáticos como
Saint Vicent y Sarasa. Otro matemático muy vinculado a los asuntos de la
navegación y los mapas, Mercator, trabajando al estilo de los indivisibles de
Cavalieri, encontró en los inicios del último tercio del siglo una variante
funcional de las sumas infinitas numéricas, dando para el cálculo de logaritmos
el desarrollo en serie de potencias
log(1+x)=x - (x2/2)+(x3/3) - (x4/4)+···,
que
permitía mayor facilidad y precisión en la obtención de tablas. A esta suma
infinita funcional, se sumaron otras con el nombre de series de potencias, como esta que resulta del simple algoritmo de
división de polinomios:
1/(1 - x)=1+x+x2+x3+···,
cuyos sumandos
van decreciendo cuando x<1. Vimos los casos x=1/2, 1/4, unas páginas atrás.
En estos asuntos trabajaba también Wallis, otro de los maestros de Newton, gran
experto en sumas infinitas.
Este
es el recurso que en manos de los genios Newton y Leibniz cerró la bóveda del
cálculo infinitesimal, consiguieron desarrollar en series de potencias las
funciones elementales entonces conocidas y las consideraron como “polinomios
con puntos suspensivos”, derivando e integrando término a término en dichos
desarrollos. Así, resultará
logʼ(1+x)=1/(1+x ) , ∫(1/(1+x))dx =log(1+x).
En
la obtención de los desarrollos en series de las funciones tuvo un papel muy
destacado la extensión que Newton hizo de la conocida fórmula del binomio para
expresar las funciones
(1+x)k con exponente entero
negativo o fraccionario como una serie de potencias con infinitos términos.
Enseguida
se dieron las reglas para derivar productos y cocientes, se crearon tablas de
primitivas y se formuló la integración por partes,
xy=∫xdy+∫ydx,
etc. El
cálculo infinitesimal se puso en marcha.
Para
verificar su potencia y dejar claro que se trataba de un gran paso de la
humanidad, cada uno de los dos genios fundadores resolvió problemas hasta
entonces imposibles. Leibniz resolvió el problema que De Beaune había planteado
a Descartes, lo hizo mediante una ecuación diferencial cuya solución encontró
usando logaritmos. Como parte de sus investigaciones sobre el movimiento,
Newton completó el estudio de la curvatura de las curvas que había iniciado
Huygens.
La
gran obra de Newton, uno de los logros más imponentes del pensamiento humano,
fue formular las leyes generales del movimiento de los cuerpos, estudio
iniciado por Galileo, y deducir de ellas las leyes de Kepler inducidas a partir
de datos observacionales. Para la exposición de su dinámica, Newton prefirió
seguir el método sintético de la geometría de Euclides y no el analítico, lo
que dificultó la comprensión de su obra y la de sus seguidores británicos, como
Maclaurin o Taylor. Pero matemáticos posteriores de la Europa continental
desarrollaron y completaron la teoría newtoniana haciendo uso del cálculo
infinitesimal analítico, que es el modo natural de expresión matemática de
dicha teoría.
El cálculo alienta el progreso y se reformula.
La geometría
analítica y el cálculo infinitesimal empezaron inmediatamente a dar frutos en
la matemática pura (resolución de problemas matemáticos) y en las matemáticas
mixtas (aplicadas a la mecánica y otras ciencias). A finales del siglo XVII y
principios del XVIII ya había una amplia cantidad problemas importantes
resueltos con los nuevos métodos, principalmente por los fundadores y los
hermanos suizos Johann y Jakob Bernoulli, seguidores de Leibniz.
A
lo largo del siglo XVIII la geometría analítica del plano y del espacio quedó
consolidada, pero el cálculo infinitesimal todavía no. Aparecieron libros que
ayudaban a estudiarlo: el del Marqués de L’Hospital, fruto de las lecciones
recibidas de Johann Bernoulli, y el de la italiana Caetana Agnesi, ambos muy
ligados al estudio de curvas. Siguiendo la onda continental, en la segunda
parte del siglo llegaron los notables libros de Euler y Lagrange planteando el
cálculo como una teoría de las funciones autónoma, dejando las cuestiones sobre
curvas y superficies para las aplicaciones. Por otra parte, ambos autores
expresaron la dinámica de Newton con la nueva herramienta matemática, lo que
alcanzó forma acabada en la Mecánica
analítica de Lagrange (1788), que refrendó el valor indudable del cálculo
infinitesimal.
Pero
la matemática pura exige también, desde los Elementos
de Euclides, que las justificaciones de los métodos empleados estén bien
consolidadas con lógica deductiva y en esto la situación inicial del cálculo
infinitesimal fue deficiente: triunfaba como método de invención y aplicación,
pero adolecía de una justificación suficiente. En la Enciclopedia francesa de Diderot y D’Alembert aparecen las
cantidades infinitesimales o diferenciales como parte de los registros
matemáticos, pero también en el apartado de metafísica, donde se discute si son
cantidades reales o meras ficciones sometidas a un álgebra específica y capaces
de producir explicaciones de la realidad. En este aspecto los infinitesimales
eran como el éter o el vacío.
D’Alembert
aconsejaba a sus estudiantes que no hicieran demasiadas preguntas sobre el
fundamento del álgebra de los infinitesimales, pero que se afanaran en
aplicarlos con éxito a los más diversos problemas prácticos cuya solución
impulsaba el progreso. Sin embargo, él mismo se ocupó de salvar el escollo
metafísico, fue un adelantado en la teoría de los límites que usamos hoy, en la
que radicaba, decía, “la verdadera metafísica del cálculo infinitesimal”.
Ya
en el siglo XIX, su compatriota Cauchy (1821) hizo desaparecer los
infinitesimales sustituyéndolos por la teoría de límites que se estudia hoy, en
la que la derivada se expresa como un límite del cociente incremental:
f ʼ(x)=lime→0 (f(x+e)
- f(x))/e.
También
las integrales se definen desde Cauchy como límites de sumas de áreas por
exceso y por defecto. No obstante, cuando se usa el cálculo con fines
prácticos, sigue siendo valiosas las intuiciones de los infinitesimales.
Hacia
los años treinta, Fourier dio un nuevo impulso heurístico al cálculo con su
teoría del calor, en la que usaba con inusitada libertad desarrollos de las
funciones en series infinitas de senos y cosenos, cuyos coeficientes calculaba
mediante integrales. Las series trigonométricas de Fourier tuvieron un enorme
éxito aplicado y necesitaron una costosa adaptación al rigor conceptual, al que
se aplicaron los matemáticos europeos que dieron forma acabada al cálculo
infinitesimal cuando ya recibía nombres como teoría de funciones o análisis
matemático. Para ello hubo que esperar hasta el último tercio del siglo
XIX, cuando se fundamentó con rigor aritmetizado (Cantor, Dedekind,
Weierstrass) el número real que modela el continuo.
Mediante
el cálculo infinitesimal, Gauss completó el estudio de la curvatura de las
superficies (1827) y a partir de su trabajo concibió Riemann (1854) la noción
abstracta de un espacio matemático curvo y multidimensional con diferentes
tipos de métrica, dejando para los físicos la tarea de determinar el modelo
matemático que corresponde a la realidad material que ellos examinan. Cuando,
en los primeros años del siglo XX, Einstein formuló los principios físicos de
la mecánica relativista, la exposición matemática de su teoría se realizó en un
espacio-tiempo con métrica de Riemann.
Bibliografía,
lecturas de ampliación (solo en lengua española):
(1)
Boyer, C. B., Historia de la matemática,
Alianza Ed., Madrid, 1991.
(2)
Durán, A. J., Una historia, con
personajes, de los conceptos del cálculo, Alianza Ed., Madrid, 1996.
(3)
Kline, M., El pensamiento matemático de
la antigüedad a nuestros días, Alianza Ed., Madrid, 1992.
(4)
González Urbaneja, P. M., Las raíces del
cálculo infinitesimal en el siglo XVII, Alianza Ed., Madrid, 1992.
(5)
Rey Pastor, J., Curso de cálculo
infinitesimal, Madrid, 1962. Con un apéndice sobre la evolución y los
precursores del cálculo infinitesimal.
(6)
Rey Pastor, J., Babini, J., Historia de
la matemática, 2 vols., Gedisa, Barcelona, 1984.
(7)
Thompson, S. P., El cálculo infinitesimal
al alcance de todos, Madrid, 1932.
Luis Español González
Profesor
Titular de Geometría y Topología.
Historiador
de las Matemáticas.
Departamento
de Matemáticas y Computación.
Universidad de La Rioja.
Muchas felicidades!!! desde México
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