La gravedad - Enrique Álvarez

La gravedad: ¿es una interacción fundamental?

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¿Qué es una interacción fundamental?

Para empezar, unas palabras sobre interacciones en general. Hoy en día sabemos que la naturaleza, a nivel fundamental, es cuántica, por lo que ésta (la mecánica cuántica) es la explicación última de todas ellas. Sin embargo hablamos a veces de interacciones clásicas, y de interacciones de corto o de largo alcance. ¿Qué quiere decir esto? En el caso de la gravitación y el electromagnetismo, las interacciones son de largo alcance, y tienen manifestación clásica. Cuánticamente los efectos clásicos se entienden como efectos colectivos de una cantidad inconmensurable de cuantos. Las interacciones de corto alcance conocidas, como veremos en un momento, tienen un alcance tan pequeño que los efectos clásicos directos son imposibles de medir. Pero en principio podría haber interacciones de corto alcance que se manifestasen clásicamente¹ (por ejemplo, si el fotón tuviese una masa en un rango adecuado).

Volvamos a nuestro tema. Una interacción fundamental es aquella que no es reducible a otras más elementales. En la práctica y desde el punto de vista de la mecánica cuántica esto quiere decir que hay una partícula que es responsable de la interacción. Esta idea fue propuesta por primera vez por H. Yukawa² en 1935. Curiosamente, su propuesta inicial consistía en explicar las fuerzas nucleares fuertes mediante el intercambio de piones. Hemos aprendido posteriormente que los piones no son partículas elementales, sino que están ellos mismos compuestos de un par quark-antiquark, y las fuerzas nucleares se deben al intercambio de gluones entre quarks.

Decimos que dos cuerpos interaccionan mediante el intercambio de dicha partícula. Precisamente el alcance de la interacción es inversamente proporcional a la masa del cuanto intermediario. Largo alcance quiere decir masa nula (o más pequeña que la precisión de nuestras medidas). En este contexto hablamos de fuentes del campo en cuestión. O dicho de manera más precisa, estas partículas son los quanta del campo cuántico responsable de la interacción. Estos cuantos se pueden manifestar como partículas, que se producen y colisionan en los aceleradores como el CERN en Ginebra, o bien como campos clásicos cuando el número de cuantos es muy grande. Efectivamente, desde el punto de vista de la mecánica cuántica las ondas electromagnéticas están compuestas de un número inmenso de fotones. Todas las interacciones tienen esta doble naturaleza de onda/partícula, incluso en los casos en los que no existen campos clásicos por ser las interacciones correspondientes de corto alcance. Corto en este contexto quiere decir del orden del diámetro de un nucleón, 10^-13 cm, una unidad de distancia llamada fermi. Cuando el cuanto es mucho más masivo (como es el caso de las interacciones débiles, que veremos en su momento), el alcance de la interacción es mucho más pequeño.

Naturalmente el concepto fundamental o elemental, como todos en ciencia, es provisional. Puede suceder que lo que hoy pensamos que es fundamental sea realmente el producto de una interacción más básica. Ya hemos visto que esto sucedió históricamente con los piones, que hoy se saben compuestos por una par quark-antiquark. La clave está en el famoso principio de incertidumbre. Para explorar distancias cada vez más pequeñas necesitamos energías más y más grandes. El valor de la energía máxima que se puede alcanzar en los aceleradores en un momento dado pone una cota sobre la escala de distancias más pequeña sobre la que podemos afirmar la no existencia de subestructura.

Las interacciones que se consideran fundamentales a las escalas que se han podido explorar experimentalmente son:

1) La interacción electromagnética. Es este otro ejemplo de lo que decíamos más arriba; durante siglos se pensó que la electricidad y el magnetismo eran dos interacciones fundamentales, hasta que Maxwell³ en 1865, basándose en los magníficos experimentos de Faraday, demostró que realmente eran la misma interacción. Modernamente se interpreta como debida al intercambio de fotones. Ya hemos visto como conjuntos macroscópicos de fotones constituyen las ondas electromagnéticas.

El descubrimiento de estas ondas ocupó buena parte del siglo XIX. Los primeros en detectarlas fueron los astrónomos: el infrarrojo (longitudes de onda más largas que el visible, y por consiguiente frecuencias más pequeñas; recordemos que la longitud de onda y la frecuencia son inversamente proporcionales) fue descubierto por el astrónomo William Herschel⁴ ya en 1800, y el ultravioleta (la zona opuesta del espectro, a saber, longitudes de onda más pequeñas y por consiguiente, frecuencias más elevadas), por Wilhelm Ritter⁵ en 1801. Una vez que Maxwell escribió sus ecuaciones, en 1887 Hertz⁶ produjo artificialmente ondas de radio (longitudes de onda todavía más largas que el infrarrojo), y poco más tarde, Roentgen⁷ produjo los rayos X, longitudes de onda más pequeñas que el ultravioleta.

La producción controlada del espectro completo de ondas electromagnéticas fue un paso previo al descubrimiento del fotón, postulado por Einstein en su momento como una partícula de masa nula. Éste es un concepto absurdo desde el punto de vista de la física newtoniana, pero la relatividad especial explica la existencia de partículas con masa nula de manera consistente. Se mueven siempre a la velocidad de la luz, en cualquier sistema de referencia inercial. En física newtoniana, masa nula quiere decir momento nulo y energía nula. En la física relativista, en cambio, estas partículas tienen un momento lineal proporcional a su frecuencia (y por tanto, inversamente proporcional a su longitud de onda), y la constante de proporcionalidad es precisamente la constante de Planck. La energía de un fotón es proporcional a su momento, y por tanto, también a su frecuencia. Es decir, que tanto el momento como la masa son efectos cuánticos.

Experimentalmente fue el experimento de Compton⁸ en 1923 el que convenció a la comunidad científica de que el fotón tenía un momento proporcional a su frecuencia, de acuerdo con las ideas de Einstein. Hoy en día la fórmula de Compton se interpreta como el resultado de la colisión de un fotón con un electrón en reposo. En esa colisión el momento del fotón cambia (por conservación de energía-momento), y por consiguiente también su frecuencia. Esto no es consistente con la interpretación de la luz como una onda clásica, en cuyo caso la frecuencia no cambiaría. Toda esta fascinante historia está muy bien resumida en el libro clásico de Pais [1].

2) Las interacciones nucleares débiles, responsables de las desintegraciones de los núcleos atómicos. Se interpretan como debidas al intercambio de los bosones vectoriales W ^± y el Z⁰, descubiertos por Carlo Rubbia⁹ y colaboradores en el experimento UA1 en el Laboratorio Europeo de Física de Partículas (CERN) en Ginebra en el año 1983. Para ello se hicieron chocar en los anillos de colisión del CERN haces de protones y antiprotones con una energía más de 300 veces la de un protón en reposo. A estas interacciones podemos añadir la mediada por el Higgs, que es una interacción cuántica de corto alcance, aunque es pronto para asegurar que el Higgs no tiene subestructura. Necesitamos explorar energías más grandes de las que somos capaces en la actualidad para acotar esta posibilidad.

3) Las interacciones nucleares fuertes. Éstas son las responsables de mantener a los protones y los neutrones unidos en los núcleos atómicos a pesar de la repulsión coulombiana debida al hecho de que los protones tienen todos carga positiva. Sucede que tanto los protones como los neutrones se interpretan como estados compuestos por tres quarks. Existe evidencia de que la interacción entre estos quarks está causada por el intercambio de 8 tipos de gluones, parecidos a los fotones, pero que interaccionan entre sí. No existe indicación alguna de que los quarks tengan subestructura. Experimentalmente, la evidencia en favor de los quarks fue inicialmente obtenida en el acelerador SLAC, en Stanford, California, y la evidencia a favor de los gluones en PETRA, un experimento en el laboratorio DESY en Hamburgo.

4) Numerosos físicos piensan que la interacción gravitatoria podría ser interpretada en el mismo sentido que las otras interacciones, como causada por el intercambio de una partícula llamada en este caso el gravitón. La diferencia con los casos anteriores, es que de momento no hay evidencia directa de la existencia del gravitón, y de ahí las dudas sobre el carácter fundamental de la interacción gravitatoria.

En resumen: queremos ser lo más escépticos posible, y plantearnos la pregunta de si podemos al menos imaginar que no existen los gravitones, por lo cual, según nuestra definición anterior, la gravitación no sería después de todo, una interacción fundamental.

Primer Interludio: Los caminos a la Relatividad General.

El origen de la reflexión que llevo a Einstein¹⁰ a elaborar en 1917 la Relatividad General es el famoso principio de equivalencia. Un campo gravitatorio es localmente equivalente a un sistema acelerado con una aceleración igual y opuesta a la de la gravedad en ese punto. O dicho de otra manera, en un sistema en caída libre el campo gravitatorio se anula. Aunque Einstein pensaba en términos de ascensores que se caían, hoy en día tenemos elocuentes manifestaciones de la veracidad de ese principio cuando vemos flotar en sus cápsulas a los astronautas en la estación espacial ISS (International Space Station).

Pero este camino no es el único posible. Mucho más tarde (en 1939) los físicos suizo-austriacos Fierz¹¹ y Pauli¹² escribieron una ecuación para el gravitón consistente con la Relatividad Especial. Esta teoría es totalmente satisfactoria en tanto en cuanto no haya interacciones, pero presenta inconsistencias cuando se intentan incorporar éstas.

Esta línea de razonamiento, generalmente asociada al nombre de Feynman¹³, pero en la que participaron muchos autores incorporando pequeños detalles, conduce, después de resolver una complicada condición de autoconsistencia, exactamente a la misma teoría de la Relatividad General.

Curiosamente, en la vía de Feynman se parte de la física de gravitones; en la de Einstein del principio de equivalencia. Como vemos, la Relatividad General no necesita de, pero es consistente con, la existencia de gravitones.

¿Qué pasa con los gravitones?

En 2016 se comunicó a la comunidad científica la observación de ondas gravitatorias provenientes de la fusión de dos agujeros negros. Esta observación, una de las más delicadas de la historia de la humanidad, fue posible gracias a la colaboración internacional LIGO. Tres de sus científicos (Weiss, Barish y Thorne)¹⁴ fueron galardonados con el premio Nobel en 2017.

Es difícil exagerar la importancia de ese descubrimiento. Además de abrir una nueva ventana sobre el Universo, es claro que con el tiempo se aprenderá a modular y trabajar con este tipo de ondas, de modo análogo a lo que ocurrió con las ondas electromagnéticas.

Dada la pequeñez de la interacción gravitatoria comparada con las otras interacciones, parece sin embargo lejano el momento en que se pueda detectar el análogo del efecto Compton que demuestre fehacientemente la existencia de los gravitones. Exactamente ese mismo efecto es, en principio, observable, así como el correspondiente cambio de momento de los gravitones. Un cálculo sencillo sugiere sin embargo que estos efectos no pueden ser observados directamente hasta que las partículas tengan una energía 10¹⁹ (un 1 seguido de 19 ceros) veces de la de un protón en reposo.

Necesitamos nuevas ideas.

Segundo Interludio: Agujeros negros y materia oscura.

Antes de abordar el tema principal de este artículo, a saber, si es concebible que los gravitones no existan, tenemos que recordar unas ideas sobre entropía, agujeros negros y cosmología.

          -La entropía de un sistema macroscópico es una medida del desorden. La entropía es en su origen un concepto termodinámico que tiene su explicación estadística, como la exponencial del número de estados cuánticos que corresponden a unas condiciones macroscópicas dadas (energía, etc.). Para sistemas en equilibrio termodinámico, la entropía es proporcional a la temperatura: cuanta más alta sea ésta, más desorden, y más entropía.

Los sistemas físicos al evolucionar tienden siempre a aumentar la entropía. Este principio general fue enunciado por primera vez por el físico austriaco Boltzmann¹⁵ en el año 1872. Es intuitivo, y así ocurre para los sistemas ordinarios, que esa cantidad sea extensiva; esto es, proporcional al volumen del sistema. Esto quiere decir que cuanto más volumen, más estados cuánticos están disponibles para distribuir la energía del sistema.

-Veamos qué en un agujero negro, que no es ciertamente un sistema ordinario. Recordemos que un agujero negro es una región del espacio-tiempo donde la atracción gravitatoria es tan intensa que nada, ni siquiera la luz puede escapar de él. Existe una superficie, llamada precisamente horizonte que separa los sucesos que pueden escapar de dicha atracción, y los que se ven ineludiblemente atrapados por el agujero negro y ya no pueden escapar.

Existe una analogía (que probablemente es más que una analogía, como veremos) termodinámica de un agujero negro. A todo agujero negro se le puede asociar una temperatura, la llamada temperatura de Bekenstein-Hawking¹⁶, que es inversamente proporcional a la masa del agujero negro, y también una entropía, que es proporcional al área del horizonte de sucesos, que a su vez resulta ser proporcional al cuadrado de la masa de dicho agujero negro.

Se puede demostrar que cuando dos agujeros negros se fusionan en uno solo, el área del horizonte del agujero negro resultante es siempre mayor o igual que la suma de las áreas de los agujeros negros iniciales. Esta fue de hecho la primera pista de que la entropía del agujero era proporcional al área del horizonte.

Tenemos pues una entropía proporcional al área de la superficie que rodea al volumen que estamos considerando, en este caso el interior del agujero negro. Es conveniente subrayar que este es un fenómeno muy infrecuente. Ya hemos señalado que para los sistemas físicos ordinarios, a igualdad de todo lo demás, a mayor volumen, mayor entropía. Esto es lo que no es cierto para agujeros negros: la entropía es proporcional al área del correspondiente agujero, y no al volumen del interior del agujero negro.

Dado que esta dependencia del área es tan poco común, algunos físicos la han tomado como un principio fundamental de la gravedad a dichas escalas. Esta es precisamente la base o punto de partida del principio holográfico de Gerardus ´t Hooft¹⁷ y Leonard Susskind¹⁸, que postula que los grados de libertad fundamentales a nivel cuántico han de distribuirse en una superficie o pantalla, como si se tratase de un holograma, en vez de distribuirse por todo el volumen del sistema.

La temperatura de Hawking por otra parte, es la temperatura de la radiación que emite un agujero negro debido a fluctuaciones cuánticas. En cambio la entropía no es la que correspondería a un cuerpo negro (que sería extensiva), como ya se ha mencionado, aunque se puede explicar en teoría de cuerdas para cierto tipo de agujeros cargados llamados extremales, que son precisamente aquellos que se pueden embeber en una teoría supersimétrica. Explicar, en este sentido, quiere decir que se han identificado los estados cuánticos precisos que dan lugar a dicha entropía. Ya decíamos antes que toda la termodinámica de agujeros negros puede ser más que una analogía. Pero todavía está por demostrar que esto es cierto para agujeros negros no supersimétricos, que son los únicos de interés astrofísico.

En el espacio-tiempo puede haber horizontes que no son debidos a la presencia de un agujero negro. Por ejemplo, un observador uniformemente acelerado no es capaz de interaccionar con todo el espacio-tiempo; se dice que tiene un horizonte (en este caso, llamado de Rindler). Esto quiere decir dos cosas. Por una parte, hay un trozo del espacio-tiempo que nunca podrá interaccionar con el observador acelerado (pero éste sí que puede mandar señales a esa región). Por otra, existe una región diferente, a la que el observador acelerado nunca podrá mandar ninguna señal (pero el observador sí que puede recibir señales provenientes de esta segunda región). Hay además una tercera región en la que ni se pueden recibir ni tampoco emitir señales hacia el observador acelerado.

Pues bien, siempre que hay un horizonte, hay una temperatura asociada, así como todas las cantidades termodinámicas que se deducen de ella, en particular la entropía. La temperatura del horizonte es proporcional a la aceleración del sistema acelerado que es localmente equivalente al campo gravitatorio, según el principio de equivalencia que acabamos de recordar en el primer interludio.

-En los años 1960 Vera Rubin y Kent Ford¹⁹, basándose en trabajos anteriores, demostraron concluyentemente que la masa visible no era suficiente para mantener las estrellas de la galaxia ligadas gravitacionalmente a ella. Aceptando estos datos, hay dos explicaciones. O bien hay más masa de la que se ve, y a esta hipotética masa le llamaríamos masa oscura; o bien las leyes de Newton dejan de ser válidas a las enormes escalas características de las galaxias.

Es un tema recurrente desde los trabajos del físico israelí Milgrom (1983) que una modificación ad hoc de la dinámica newtoniana podría ser una explicación alternativa a la materia oscura para solucionar el problema de las curvas de rotación en galaxias. Con las observaciones recientes de microlentes gravitatorias, se hace cada vez más complicado construir modificaciones de la gravedad consistentes con todos los datos; pero por otra parte es cierto que no se ha encontrado (¿todavía?) en la naturaleza un candidato viable para la materia oscura.

El decidir cuál de estas dos explicaciones posibles es correcta solo será posible mediante observaciones más precisas, como por ejemplo la detección directa de dicha materia oscura o bien la verificación de alguna predicción que nos obligue a modificar la Relatividad General.

¿Puede ser la gravedad una fuerza entrópica?

¿Qué es una fuerza entrópica? Es éste un concepto que se usa en general para sistemas muy complicados (por ejemplo los polímeros) de los cuales no se tiene una comprensión detallada a partir de primeros principios, pero de los que sabemos, de acuerdo con la segunda ley de la termodinámica, que su entropía aumenta. A las fuerzas que pueden interpretarse como causantes de ese aumento se les llama precisamente entrópicas.

La idea básica del físico americano Ted Jacobson²⁰ en el año 1995 (retomada con ligeras variaciones, por el físico indio, en el año 2010, Thanu Padmanabhan²¹ y el holandés Erik Verlinde²² en el año 2011) es aplicar el principio de que en todo sistema en el que existe una entropía no uniforme, existe una fuerza entrópica, proporcional a la variación espacial de la entropía; aplicar esa idea, decimos, al campo gravitatorio, utilizando para ello las nociones de entropía y de temperatura que acabamos de explicar brevemente.

El punto de vista de los autores mencionados (especialmente de Verlinde) se puede glosar de la siguiente manera: no nos pronunciamos sobre los grados de libertad cuánticos fundamentales, sino que intentamos sacar consecuencias generales sobre identidades termodinámicas en el horizonte de un agujero negro.

En resumen, en mi opinión, lo que estos interesantes trabajos demuestran es que sea cual sea la teoría subyacente, las ecuaciones de Newton son más o menos inevitables a nivel macroscópico. De ahí a las ecuaciones de Einstein se puede llegar postulando covariancia relativista, siguiendo el camino de Fierz-Pauli-Feynman (recordemos que no fue históricamente el seguido por Einstein).

En este sentido, se puede decir que la Relatividad General es análoga a una teoría emergente de las que utilizan los físicos para describir la materia condensada (como los plasmones, por ejemplo). Interacciones emergentes son las que aparecen cuando no se está interesado (o no se puede tener en cuenta debido al número muy elevado de grados de libertad) en el detalle de las interacciones básicas, y se promedia sobre ciertas cantidades o regiones del sistema. Las teorías emergentes más conocidas aparecen cuando se estudian objetos macroscópicos, como en materia condensada, o en física estadística.

El uso de este concepto en física teórica es una interesante novedad.

Este tipo de análisis tiene dificultades²³ para considerar sistemas dependientes del tiempo, como los que son inevitables cuando se trata de describir todo el universo, es decir, el problema Cosmológico. De hecho, en un segundo trabajo, Verlinde postula que hay una contribución extensiva (proporcional al volumen) a la entropía que es responsable de modificaciones de la gravedad que podrían hacer innecesaria la materia oscura.

En definitiva, nuestro punto de vista es que la búsqueda de las variables fundamentales de la naturaleza a nivel cuántico sigue adelante. Lo que estos trabajos revisionistas señalan es la existencia de propiedades independientes de los detalles de estas variables.

De hecho algunos autores, como por ejemplo el físico chino Tower Wang entre otros han propuesto una derivación entrópica de las ecuaciones de Maxwell²⁴. Esto demuestra al menos que el hecho de que exista una manera entrópica de entender una interacción no impide necesariamente la existencia de quanta del campo correspondiente.

Está claro que para entender completamente la gravitación como debida al intercambio cuántico de gravitones, necesitamos una teoría que contenga a la vez a la gravitación y a la cuántica. La búsqueda de dicha teoría que haga compatibles (o que posea como ciertos límites) la Relatividad General y la Mecánica Cuántica es una de las aventuras intelectuales más fascinantes que se pueden emprender.

Es posible que existan continentes enteros de conocimiento que están esperando a ser descubiertos. Mientras tanto, el viaje continúa en medio de una densa niebla.

Referencias:

[1] Abraham Pais, “Inward bound: Of matter and forces in the physical world.”

(Clarendon Press, Oxford, 1988)

[2] T. Jacobson, “Thermodynamics of space-time: The Einstein equation of state,”

Phys. Rev. Lett. 75 (1995) 1260 doi:10.1103/PhysRevLett.75.1260 [gr-qc/9504004].

[3] T. Padmanabhan, “Thermodynamical Aspects of Gravity: New insights,”

Rept. Prog. Phys. 73, 046901 (2010)

[4] E. P. Verlinde, “On the Origin of Gravity and the Laws of Newton,”

JHEP 1104, 029 (2011) doi:10.1007/JHEP04(2011)029 [arXiv:1001.0785 [hep-th]].

“Emergent Gravity and the Dark Universe,” SciPost Phys. 2 (2017) no.3, 016

doi:10.21468/SciPostPhys.2.3.016 [arXiv:1611.02269 [hep-th]].

[5] S. Carlip, “Challenges for Emergent Gravity,” Stud. Hist. Phil. Sci. B 46, 200 (2014)

doi:10.1016/j.shpsb.2012.11.002 [arXiv:1207.2504 [gr-qc]].

[6] T. Wang, “The Coulomb Force as an Entropic Force,” Phys. Rev. D 81, 104045 (2010)

doi:10.1103/PhysRevD.81.104045 [arXiv:1001.4965 [hep-th]].

[7] E. Alvarez, “Quantum Gravity: An Introduction To Some Recent Results,”

Rev. Mod. Phys. 61, 561 (1989) doi: 10.1103/Rev.Mod.Phys.61561

Enrique Álvarez

Catedrático de la UAM y miembro permanente del IFT.

Departamento de Física Teórica, Instituto de Física Teórica,

Universidad Autónoma de Madrid, IFT-UAM/CSIC.

Notas:

¹ Técnicamente, la palabra clásico, en este contexto, abarca efectos que no involucran directamente la constante de Planck.

² Hideki Yukawa (1907-1981) fue un físico japonés que trabajó en la universidad de Kyoto, consiguiendo el premio Nobel en 1949.

³ James Maxwell (1931-1879) fue un físico escocés afincado en Cambridge, uno de los más relevantes del siglo.

⁴ William Herschel (1738-1822) fue un astrónomo germano-británico, que llegó a ser astrónomo real.

⁵ Wilhelm Ritter (1776-1810) fue un físico-químico alemán afincado en Jena.

⁶ Heinrich Hertz (1857-1894) fue un físico alemán, director del Instituto de física de Bonn.

⁷ Wilhelm Roentgen (1845-1923) fue un físico alemán afincado en la universidad de Würzburg.

⁸ Arthur Compton (1892-1962) fue un físico americano, profesor en la Universidad de Washington en St. Louis. Obtuvo el premio Nobel en 1927.

⁹ Carlo Rubbia (1934- ) es un físico italiano, que trabajó en la universidad de Harvard y en el CERN. Consiguió el premio Nobel en 1984.

¹⁰ Albert Einstein (1879-1955) fue un importante físico alemán, que terminó afincado en Princeton.

¹¹ Markus Fierz (1912-2006) fue un físico suizo, asistente de Wolfgang Pauli.

¹² Wolfgang Pauli (1900-1958) fue un físico austriaco, considerado como uno de los más creativos del siglo XX.

¹³ Richard Feynman (1918-1988) fue un físico americano, uno de los creadores de la electrodinámica cuántica.

¹⁴ Rainer Weiss (1932- ) es un científico alemán que trabaja en el MIT en Cambridge (MA); Barry Barish (1936- ) y Kip Thorne (1940- ) son dos científicos americanos que actualmente trabajan en Caltech, en Pasadena (CA). Thorne es un teórico que contribuyó decisivamente al avance y popularización del proyecto. Barry Barish es originalmente un físico experimental de partículas elementales, que dinamizó notablemente el experimento LIGO desde que se incorporó a él en el año 1994. Lamentablemente el físico escocés Ron Drever (1931-2017), cuyas ideas fueron determinantes en la concepción del experimento LIGO, murió justo antes de la decisión del comité Nobel.

¹⁵ Ludwig Boltzmann (1844-1906) fue un físico austriaco que trabajó en la universidad de Viena.

¹⁶ Jacob Bekenstein (1947-2015) fue un físico mexicano-israelí que trabajó en la universidad hebrea de Jerusalén. Stephen Hawking (1942-2018) fue un físico británico, asociado a la universidad de Cambridge (UK).

¹⁷ Gerardus ´t Hooft (1946- ) es un físico holandés que trabaja en la universidad de Utrecht y consiguió el premio Nobel en 1999.

¹⁸ Leonard Susskind (1940- ) es un físico americano que trabaja en la universidad de Stanford.

¹⁹ Vera Rubin (1928-2016) fue una astrónoma americana asociada sobre todo a la Carnegie Institution. Kent Ford (1931- ) es un astrónomo americano.

²⁰ Theodore Jacobson (1954- ) es un físico americano que trabaja en la Universidad de Maryland [2].

²¹ Thanu Padmanabhan (1957- ) es un físico indio que trabaja en el IUCAA, en Pune [3].

²² Erik Verlinde (1962- ) es un físico holandés asociado a la universidad de Amsterdam [4].

²³ Recomendamos la lectura del análisis de Carlip [5] para profundizar en las dificultades de la idea general.

²⁴ Incidentalmente este artículo concreto [6] apareció publicado antes que el trabajo de Verlinde.

Fig.1. Dos agujeros negros se funden en uno (Figura incorporada por los Coordinadores).

Two Black Holes Merge into One. Image Credit: SXS, the Simulating eXtreme Spacetimes (SXS) project .

(http://www.black-holes.org)