La creación de los números - Claudi Alsina

La creación de los números: muchos pasos para un gran fin.

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Una popular frase dice: <<Solo con matemáticas la humanidad no hubiese podido ir a la Luna, pero sin matemáticas tampoco>>. Este artículo quiere mostrar como los números han sido un gran paso para el progreso humano.

Números de todo tipo acompañan nuestra vida. Nunca los números estuvieron tan presentes en el mundo como ahora ((1), (2), (4), (5), (8)) y nunca antes hubo las facilidades de cálculo que hoy tenemos a nuestra disposición. Por ello es curioso hacer un pequeño recorrido histórico para descubrir cómo, lentamente, los números fueron inventados por la humanidad para resolver problemas concretos ((9), (12), (17)). En este apartado tendremos ocasión de ver claramente que el principio “cada problema tiene los números que se merece” ha sido cierto desde siempre. Los números están en el corazón de las matemáticas, en el nacimiento de la propia disciplina.

La historia de los números se funde con la historia de la  humanidad y va unida, es sus inicios, a la ancestral e imprescindible necesidad de contar. A lo largo de miles de años se fue manifestando esta imperiosa voluntad por cuantificar lo más elemental: las ovejas de un rebaño, el resultado de una caza o pesca, los días de un trayecto, la llegada de la primavera o de la época de lluvias. Contar para recordar, para distribuir, para ordenar e incluso para  hacer previsiones. Estas cuentas se formalizaron en muescas en maderas o huesos, en colecciones de piedras, en el uso de los dedos, en sonidos y finalmente en símbolos diversos que dieron luz a los sistemas de numeración.

Si contar y ordenar fueron los primeros objetivos numéricos pronto los números fueron básicos para medir (longitudes, superficies, volúmenes, tiempo,...) y para poder calcular.

Los “números” fueron necesarios antes que las “letras”. Según se describe en (21), el primer alfabeto posiblemente fue ideado por el semita Khebeded (entre 1990 y 1790 a.C.) en los yacimientos de turquesas de Serabit el-Jadim en el Sinaí (15).

Números  con muescas, piedras, dedos,…

Desde el Paleolítico se conservan huesos con muescas (16). Posiblemente también en maderas (hoy desaparecidas) se practicaron incisiones. Y en las paredes de las cuevas se hicieron marcas. El paso del nomadismo al cultivo facilitó sin duda este avance.  Las muescas dejaban constancia de un recuento (rebaño, comida, caza, enemigos,…) y por tanto acostumbraban a ser sucesiones de marcas. En algunos casos las muescas realizadas en trozos de cañas o maderas permitían, al ser cortado el soporte por la mitad, que vendedor y comprador pudieran guardar testimonio gráfico de la transacción o acuerdo numérico, asegurándose que en cualquier momento pudieran juntarse los dos trozos y verificar cual había sido el resultado pactado.

El testimonio más espectacular de contabilidad avanzada con muescas en un hueso es el caso del llamado hueso de Ishango (posiblemente con más de 20.000 años de antigüedad) que fue hallado en las orillas del lago Eduardo en Zaire y hoy se encuentra en el Museo de Ciencias Naturales de Bruselas. Destacan en este hueso las secuencias “agrupadas” de muescas, algunas de las cuales corresponden a números primos. En efecto, aparecen los primos entre 10 y 20; impares agrupados (9, 11, 13, 17, 19, 21), y algunas secuencias suman 60 y otras 48 (múltiplos de 12).

Fig.1.  Hueso de Ishango.

Otra forma ancestral de hacer cuentas y guardar el resultado fue tener una colección de piedras (unidades) y guardar las cantidades en bolsitas o cuencos. El pastoreo usó siempre este sistema para verificar si todo el ganado estaba allí o se había perdido algún animal.

Pero el comercio, las medidas agrícolas, etc. obligaron a perfeccionar el sistema. Lo primero fue tomar piedras pequeñas como unidades, piedras mayores para decenas, otras mayores para centenas, etc. También con arcilla se hicieron símbolos: bastoncillos o pequeños conos para unidades, bolitas para decenas, discos o conos grandes para centenas, esferas grandes para millares,… En estas formas de representar cantidades, las piezas se llamaron en latín calculi y de ahí derivaría nuestro concepto actual de cálculo.

Sumerios y elamitas perfeccionaron aún más este sistema. En concreto los sumerios (en base 60) usaron formas de conos y esferas pero con el criterio de que si se perforaban estas figuras con un agujero el valor se multiplicaba por 10. Repitiendo estas piezas se componían los números. Los elamitas usaron un palito para 1, una bolita para 10, un disco para 100, un cono para 300 (60x5) y un cono mayor perforado para 3000 (60x5x10).

Fig.2. Piezas en arcilla con valores numéricos.

En bolas huecas se guardaban los números compuestos con los calculi cuando interesaba dejar constancia de un acuerdo, una posesión, un débito, etc. Y a partir de aquí surgió la genial idea de evitar el contar el interior de estas bolas recipientes, marcando simbólicamente sobre ellas lo que estaba en el interior.

Nuestros más remotos antepasados también hicieron su revolución “digital” al darse cuenta de que los dedos eran un instrumento valioso para contar (6).  Con 10 dedos en las manos, la base 10 estaba servida, pero curiosamente con una sola mano se podía contar hasta 12.

Fig.3. Contando hasta 12.

Al considerar los 10 dedos de las manos y los 10 de los pies también motivó a ciertas culturas americanas al uso de la base 20.

Números y palabras.

En paralelo a muescas, piedras, nudos, dedos y primeros símbolos, también surgieron sonidos y palabras para designar números. Mucho antes de que los símbolos llevaran a la numeración simbólica escrita hubo numeración oral. Los sonidos numéricos fueron en origen una aproximación más cualitativa que cuantitativa, más pensada para distinguir pequeñas cantidades (uno, dos, muchos) que para precisar cifras grandes.

El diccionario español de la Real Academia Española (RAE) es una trabajada lista de 93.111 palabras (con 19000 americanismos) ordenadas alfabéticamente y con precisas definiciones. Las palabras de un idioma son el código de comunicación básica para hablar y escribir. Lo único que debemos constatar aquí es que el diccionario también es una lista de palabras con números. Hay infinitos números y por tanto los artífices del diccionario han tenido que hacer una selección de nombres de números básicos en la numeración:

-Los numerales cardinales expresan las cantidades discretas, desde el cero, uno, dos,….., millón, millardo, billón, trillón, cuatrillón, quintillón.

-Los numerales ordinales expresan el orden en secuencias ordenadas: primero, segundo,…., millonésimo.

-Los numerales multiplicativos permiten nombrar multiplicaciones: doble, duplo, triple,…., céntuplo.

-Los numerales fraccionarios o partitivos permiten expresar partes o divisiones. En substantivos: mitad o medio, tercio,…, dosmillonésimo o dosmillonésima;  o en adjetivos: medio, media, tercera (parte),…, dosmillonésima (parte).

Unas joyas numéricas históricas.

Por tierras de Babilonia floreció durante siglos la denominada cultura babilónica a la cual contribuyeron también multitud de pueblos (sumerios, acadios, caldeos, asirios,…) durante un largo periodo, desde el 2.100 a. C. hasta el 200 a. C. (19).

Con un estilete largo, cuya sección final era un triángulo isósceles, los babilonios crearon sus símbolos numéricos al combinar diversas presiones del estilete sobre tablillas de barro (caracteres cuneiformes) que luego en un horno dejaban el contenido aritmético listo para la posteridad. Para números menores que 60 se usaban solo dos símbolos, para 1 y 10, y un signo operativo.

Así pues entre 1 y 60 el sistema era aditivo con valores basados en la base 10. Lo sorprendente es que sumerios y babilonios usaran el sistema de base 60 posicional para números mayores (si bien no tenían símbolo para cero, lo que creaba ciertas ambigüedades). Por ejemplo: para el 201 al ser 201=3x60+21 se especificaba el símbolo de 3 seguido del de 21.

Este sistema permitió resolver todo tipo de anotaciones comerciales, intereses, censos, medidas, etc., e incluso iniciar estudios geométricos y algebraicos. El cálculo babilónico de que el año tenía 360 días seguramente influyó en esta adopción de la base 60. A ello se debe también la división del círculo en 360 partes. La idea de usar la base 12 para medidas de todo tipo duró muchos siglos y fue común a muchas culturas, siendo de hecho el sistema métrico decimal el principal introductor del 10 para crear múltiplos y submúltiplos en medidas. El hecho de que 12 = 2x6 = 3x4 facilitaba que mitades, terceras partes, cuartas partes, etc. fueran fáciles de determinar. No deja de ser curioso que durante siglos el uso del 10 fuera  común en aritmética a la vez que el 12 tuviese un protagonismo especial en medidas. 

Hoy en día no solo se venden huevos por docenas sino que las circunferencias se siguen dividiendo en 360º y las medidas temporales siguen fieles al sistema babilónico: el reloj es dividido en 12 horas, cada hora en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos… y los años siguen con 12 meses. La Sociedad Duodecimal americana reivindica aún hoy la base 12 como referente mundial.

Entre las trescientas tablillas matemáticas babilónicas destaca como joya de la corona una catalogada (en la americana Universidad de Columbia) como Plimpton 322 en honor a su donante G.A. Plimpton. Datada entre el 1900 a. C. y el 1600 a. C. y descifrada por Neugebauer y Sachs en 1945, la tablilla en cuestión contiene una extraordinaria sorpresa.

Fig.4. La tablilla Plimpton 322.

Aparecen los valores de los lados enteros de triángulos rectángulos. Una columna da catetos, otra las hipotenusas y la otra los catetos que acaban de completar dichos triángulos rectángulos. Así en la primera fila si la hipotenusa es 169 y un cateto es 119 resulta el otro 120 dado que 169² = 119²+120².

La sorpresa fue enorme. De una, aparentemente intrascendente lista de números afloraron unos resultados de cálculo avanzado (que hoy denominaríamos de tripletes pitagóricos) mostrando que sabían generar dichos números y que por tanto mucho antes de Pitágoras ya se conocía esta propiedad. Hoy sabemos que para generar números enteros a, b, c tales que a²+b² = c² se pueden usar números enteros u, v primos entre sí con u > v y tomar a = 2uv, b = u²-v² y c = u²+v². Esto es exactamente lo que, en casos concretos, hace esta sorprendente tablilla.

¿Qué llevó a los autores de este listado a interesarse por este tema? Todo un misterio que da pie a numerosas conjeturas: ¿era un material didáctico de ayuda para educadores que quisieran proponer problemas a distinguidos alumnos?, ¿era una investigación numérica especulativa?, ¿tenía relación con los triángulos rectángulos subyacentes a formas perpendiculares en arquitectura?,....

Más allá de los tripletes pitagóricos de la Plimpton 322, en muchas otras tablillas babilónicas se da un desarrollo avanzado de cálculos algebraicos y se  resuelven algunas ecuaciones de grado dos, tres y cuatro. Estos cálculos les permitieron calcular aproximaciones de determinados valores como:

√2 ≈ (17/12)(1/√2) ≈ 17/24

o la espectacular aproximación de √2 con fracciones de denominador potencias de 60:

√2 ≈ 1+(24/60)+(51/60²)+(10/60³) ≈ 1,4142155

Los papiros egipcios matemáticos.

Hacia el 3000 a.C. los egipcios empezaron a desarrollar un arcaico sistema de numeración basado en la base diez y en la repetición simple (de derecha a izquierda) de las representaciones simbólicas que dieron al 1, 10, 100, 1000, etc. En la etapa jeroglífica estas representaciones se correspondían con dibujos de determinados elementos: el uno era un trazo vertical, la decena una herradura (U invertida), la centena una espiral enrollada, el millar una flor de loto, la decena de mil un dedo levantado, la centena de mil una rana o renacuajo, el millón un hombre arrodillado con los brazos levantados al cielo (¡símbolo de gran actualidad!).Con este tipo de numeración solo las sumas y restas eran fáciles de realizar, así como las  limitadas  multiplicaciones o divisiones por dos o por diez.

En una mina de Tebas apareció en el siglo XIX un papiro de 6 m de largo por 33 cm de ancho que hacia el 1650 a.C. había sido elaborado por el escriba Ahmes. Fue comprado en Luxor en 1858 por el egiptólogo escocés A. Henry Rhind y posteriormente adquirido por el Museo Británico de Londres que actualmente lo exhibe con gran satisfacción junto a su amplio botín arqueológico acumulado. No deja de ser curioso que en lugar del nombre Ahmes del escriba, el papiro mantenga el nombre de su comprador (¡es excepcional que los ingleses pagasen algo para quedarse con ello!).

Fig.5. Papiro Rhind.

Amhes empieza el papiro con un titular digno del mejor marketing científico:

<<Cálculo exacto para entrar en conocimiento de todas las cosas existentes y de todos los oscuros secretos y misterios>>.

Amhes recopiló una lista de 87 problemas y sus soluciones,  posiblemente para facilitar el aprendizaje matemático de la contabilidad y la medición. No incluye métodos ni fórmulas, sino soluciones a problemas cotidianos muy concretos: repartos de varias barras entre 10 hombres, operaciones con fracciones, ecuaciones de primer grado, progresiones numéricas, volúmenes de grano, áreas de terrenos, pesos, casos de triángulos, rectángulos, círculos  y pirámides, divisiones y repartos proporcionales, etc.

Curiosamente, para facilitar los cálculos, el papiro incluye una tabla sobre como descomponer  fracciones del tipo 2/n (desde n = 5 hasta n = 101) en sumas de fracciones de numerador 1, por ejemplo:

2/7 = 1/4 + 1/28,           2/97 = 1/56 + 1/679 + 1/776.

Siempre sorprenden las grandes pirámides egipcias y los templos construidos. La grandeza de sus medidas y la notable posición de las inclinaciones y la localización geométrico-solar de estas edificaciones demuestran un alto nivel de pericia en las medidas y en su implementación técnica.

Pero la “gran pirámide” es una fórmula que se halla en el llamado papiro de Moscú. El papiro de Moscú adquirido por Golenishechev ha acabado siendo denominado con el nombre de la ciudad que desde 1917 lo acoge en su museo de Bellas Artes. Pieza de 5 m de largo por tan solo 8 cm de ancho, consta de 25 problemas y sus soluciones.

La aportación más interesante de esta joya (escrita con caracteres hieráticos hacia el 1890 a. C.) es la expresión exacta para el volumen de un tronco de pirámide de bases cuadradas, lo que llevó a E.T. Bell a calificar este cálculo como “la mayor pirámide de Egipto”. Concretamente, para un tronco de pirámide de altura 6 y lados de las bases cuadradas 4 y 2 el escriba dice:

Elevar al cuadrado 2 y 4

Multiplicar 2 por 4

Sumar los resultados anteriores

Multiplicar el resultado anterior por un tercio de 6

El resultado es 56

Ves, el 56, lo has calculado correctamente.

todo ello se corresponde con la fórmula exacta:

V = (a² + b² + ab)h / 3

Números escritos en base 10.

Al final del proceso surgieron los símbolos escritos numéricos. Los  símbolos matemáticos son en sí mismos identificadores de la propia disciplina constituyendo lo que hoy, casi podríamos denominar, una imagen corporativa de la reina de las ciencias.

La primera virtud simbólica es sin duda la simplificación: es más rápido y simple usar determinados símbolos que palabras, dibujos, frases, etc. Pero la virtud más trascendente de los símbolos es la posibilidad operativa que a menudo nos facilitan. La diferencia entre la frase “el doble de mi edad es ciento catorce” y su representación “2x = 114” es que la descripción simbólica da pie a desenmascarar rápidamente la incógnita: x = 114/2 = 57.

Los símbolos matemáticos más ancestrales fueron, por supuesto, los numéricos. Desde las primitivas representaciones que acabamos de ver al actual sistema de escribir los números naturales han transcurrido muchos miles de años que han visto la evolución de las cifras (16).  Detrás de nuestra lista de queridos numerales

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,…

se esconden las muy diferentes formas de anotar simbólicamente los números naturales a lo largo de varios milenios. De todas estas representaciones de los números sobreviven hoy tres: la romana, la hindú que es la nuestra y la árabe.

Los romanos idearon un sistema numérico de base 10:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X,...

que era útil para expresar cantidades moderadas pero dado su carácter aditivo no fueron adecuados para realizar operaciones como la multiplicación o la división.

Los hindús tuvieron el ingenio de desarrollar un sistema de base 10 con cero 0 y con escritura posicional. Así el 3405 era 3 veces el 1000, 4 veces el 100, no había decenas y 5 unidades. Con este sistema las operaciones aritméticas pudieron facilitarse. Fueron los árabes los que se incorporaron este sistema, realizando meritorios hallazgos algebraicos y transmitiendo dicho sistema a Occidente. Ya en el siglo XIII fue Leonardo de Pisa, Fibonacci, quien con su Libro de los ábacos promovió el conocimiento del sistema hindú. Pero también a través de España dicho sistema tuvo difusión europea.

En el grabado puede verse el contraste entre el personaje de la derecha haciendo cálculos con un ábaco de piedras y el de la izquierda usando números hindús.

Fig.6. Dos formas de calcular.

Los cálculos aritméticos se facilitaron durante años con el uso de los ábacos. Posteriormente con los algoritmos árabes manuales (los nuestros) y otros ingenios como las “reglas de cálculo”  y las tablas de logaritmos. Ya en 1620, William Gunter desarrolló un sistema de reglas con números logarítmicos para facilitar el cálculo manualmente. En 1622 William Oughtred inventó unos círculos giratorios y finalmente en 1633 dio a luz la idea de unas reglas (rectas) para calcular. Estas reglas eran aún un instrumento efectivo de cálculos en 1970. Murieron con las calculadoras.

Números de muchos tipos.

La creación de los números naturales N = {0, 1, 2, 3, 4,....} ya fue un gran avance que duró muchos siglos. Con los números naturales los temas de contar y hacer los cálculos básicos de la Aritmética ya estaban resueltos. Pero con el progreso de la humanidad pronto surgieron nuevos retos que exigieron la creación de otras clases de números. Vale la pena  consultar en internet la web (https://oeis.org) de la On-line Encyclopedia of Integer Sequences, una enciclopedia enorme de las sucesiones de enteros.

Los números enteros Z = {...., -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5,....} amplían los naturales (que se identifican con los enteros positivos) y añaden los números negativos, haciendo posible las restas, los cálculos mercantiles positivos y negativos y hoy el uso de escalas con positivos y negativos a la vez: grados de temperatura, numeración de ascensores, coordenadas simétricas. El matemático indio Bramagupta, en el 628 de nuestra era, considera las dos raíces de las ecuaciones de segundo grado, aunque una de ellas sea negativa o irracional. En su obra aparecen los números positivos, negativos y el cero, que él llamaba los bienes, las deudas y la nada.

Los números racionales o fraccionarios Q = {m/n con m, n enteros, n¹0}, que ya habían aparecido en Egipto, al relacionar dos enteros permiten establecer proporciones (regla de tres), hacer muchos cálculos, resolver ecuaciones del tipo nx+m = 0, invertir enteros (1/n), dar valores intermedios entre enteros como calcular medias aritméticas (n+m) / 2, etc. A dichos números fraccionarios m / n por división se les puede asociar una representación con decimales (1/3 = 0,3333...,1/4 = 0,25,...) con la peculiaridad que a partir de algún decimal aparece siempre un grupo de cifras que se va repitiendo indefinidamente.

Los números irracionales son los que conjuntamente con los racionales completan los números reales R que se corresponden con los puntos de una recta (3). Entre los irracionales destacan los algebraicos como las raíces cuadradas, cúbicas y de cualquier orden Ö2, Ö3,… (13) o sus combinaciones con fracciones como es el caso del popular número de oro (divina  proporción) ((11), (14), (18), (20)):

(1+√5)/2 ≌ 1,618

Otros irracionales denominados trascendentes tienen enorme importancia por su interés matemático. Destacan por su importancia histórica el número pi p (7),

p = 3,1415926535897932384626433…

razón entre el perímetro de una circunferencia y su diámetro, y el número e ligado al cálculo de logaritmos y a series numéricas, siendo e límite de la sucesión numérica (1 + 1 /n)ⁿ.

Los irracionales tiene también su representación mediante decimales pero en su desarrollo nunca aparece un grupo repetido de cifras. Por curiosidad incluimos los primeros 1000 decimales del número de oro

1.61803398874989484820458683436563811772030917980576286213544862270526046281890
244970720720418939113748475408807538689175212663386222353693179318006076672635
443338908659593958290563832266131992829026788067520876689250171169620703222104
321626954862629631361443814975870122034080588795445474924618569536486444924104
432077134494704956584678850987433944221254487706647809158846074998871240076521
705751797883416625624940758906970400028121042762177111777805315317141011704666
599146697987317613560067087480710131795236894275219484353056783002287856997829
778347845878228911097625003026961561700250464338243776486102838312683303724292
675263116533924731671112115881863851331620384005222165791286675294654906811317
159934323597349498509040947621322298101726107059611645629909816290555208524790
352406020172799747175342777592778625619432082750513121815628551222480939471234
145170223735805772786160086883829523045926478780178899219902707769038953219681
9861514378031499741106926088674296226757560523172777520353613936

Lograda la construcción del cuerpo numérico de los números reales R aparecen aún problemas no resolubles con dichos números como es el caso de las raíces cuadradas de enteros negativos (Ö-2, Ö-3,...) lo que hace que ecuaciones simples como x² + 1 = 0 no tengan raíces reales. Ello llevó a ampliar los números reales y definir el cuerpo de los números complejos

C = {a + b i, a, b reales y i = Ö(- 1)}

Muchos otros conjuntos numéricos como los cuaterniones se han ido construyendo en el los últimos dos siglos.

Cuentas binarias en base 2 y computación.

¿Qué tienen en común: un ordenador, un fax, una televisión digital, Internet, un móvil, una foto digital,...?, todo el secreto  es la base 2, el sistema binario de escribir números usando solo 0’s  y 1’s como factores de las potencias de 2:

1 = 1; 2 = 1x2 + 0x1 = 10; 3 = 11; 4 = 100;...

Hoy es posible representar voces, colores, imágenes, letras,... con grandes cantidades de ceros y unos y esto explica cómo se puede "transmitir" cualquier cosa, de la voz a un escrito, pasando por los hilos o a través del aire. ¡Los ordenadores adoran el sistema binario para operar y almacenar información!

Un bit (viene del inglés binarydigit) es la unidad de información más pequeña: es dar un 0 o un 1; con 4 bits se tiene un nibble o cuarteto y con 8 bits se tiene un byte...

Vale la pena notar que el sistema binario no nació  con los ordenadores sino mucho, mucho antes. Se han encontrado ejemplos indios y chinos de hace más de 2000 años donde expresaban números usando potencias de 2. En el siglo XVII la cosa va a más, Francis Bacon (1561-1626) habla de expresar (hoy llamaríamos codificar) palabras con números binarios y el gran matemático Gottfried Wihelm Leibniz (1646-1716) escribe la conocida obra "Explication de l’Arithmétique Binaire" donde ya usa el 0 y 1 para expresar números en base 2. A mitad del siglo XIX George Boole se interesó en temas de lógica, con los valores de verdad o falsedad de las proposiciones (1 y 0) creando la llamada álgebra de Boole. Quería, en cierto modo, ligar la lógica con un sistema formal de cálculo binario. Poco podía sospechar el impacto que esto tendría años después.

Claude Shannon (1916-2001) que era ingeniero eléctrico  fundador de la teoría de la información y George Stibitz (1904-1995), considerado padre de los ordenadores digitales, implementan en 1937 las ideas teóricas booleanas en la creación de circuitos, en las primeras computadoras que operaban usando el sistema binario. John von Neumann (1903-1957), John Mauchly (1907-1980) y Norbert Wiener (1894-1964) hacen ya posible una novedosa "cibernética". Y de entonces a hoy llegamos a una computación que ha cambiado el mundo. La máquina de vapor hizo posible la revolución industrial; los ordenadores hacen ahora posible la revolución del conocimiento.

Una figura clave en las ciencias de la computación fue el británico Alan Turing (1912-1954) abriendo con gran creatividad nuevos horizontes a las ciencias de la computación. Durante la Segunda Guerra Mundial dirigió una división de la Inteligencia británica para descifrar (con nuevas máquinas e ideas sobre códigos) los mensajes secretos de la marina alemana. Entre 1945 y 1952 desarrolló aportaciones muy originales sobre programación, redes neuronales e inteligencia artificial. Las ideas de Turing se avanzaron a la tecnología de su tiempo pero contribuyeron enormemente al desarrollo posterior de las máquinas computacionales y a la reflexión sobre sus límites y posibilidades.

Como dice Brian W. Kernighan, detrás del mundo computacional hay tres grandes ideas (máquinas, programas y comunicación) y un principio clave que es el de la digitalización, la reducción de todo tipo de “informaciones” a números binarios con ceros y unos.

Gran repercusión tuvo un artículo de Burks, Goldstein y von Neumann de 1946 donde aseguran poder “trabajar” (introducir, manipular, almacenar, enviar,…) solamente con números. Si bien la “estructura lógica” del ordenador se ha mantenido, a nivel tecnológico la evolución en formas, tamaños, potencia y precios, ha sido sorprendente desde los años cincuenta. Desde las pantallas de fósforo y los grandes tubos a los actuales circuitos integrados, con millones de transistores en un “chip”, y los procesadores múltiples, la evolución ha sido espectacular siendo hoy posible hacer, en un mini portátil o un móvil, operaciones que no se podían soñar con máquinas que ocupaban una planta.  Según la conjetura de Moore, cada uno o dos años se podría doblar la capacidad de los computadores y así ha sido.

Hoy sigue avanzando el conocimiento de millones de decimales de pi, poniendo con ello a prueba las capacidades computacionales del momento. Mirar atrás y visitar algunas aproximaciones históricas de p nos permite revivir algunos momentos en donde conocimiento matemático e ingenio calculador se fundieron. El número pi es un fiel testimonio que ha calibrado el desarrollo matemático a lo largo de la historia (7). A partir de 1947 las calculadoras y ordenadores abrieron nuevas perspectivas a la pi-manía.

El imperio de los códigos.

Un código es cualquier grupo de símbolos que represente una información (10). Entendido así los sistemas de numeración, las palabras o frases de los idiomas, los jeroglíficos egipcios, etc. eran ya códigos. Pero el avance científico permitió que nuevos códigos fueran desarrollándose: el código Morse, el código Braille, el código genético del ADN, el código musical para escribir partituras, etc. a la vez que nuevos medios para comunicar estos códigos fueron naciendo (telégrafos, teléfonos, instrumentos musicales, radio, televisión, computadoras,…).

En el siglo XX los códigos han adquirido una importancia estratégica al formar parte esencial de la información característica de este siglo, desde CD musicales a lejanas sondas espaciales que envían datos, desde módems a móviles, desde Internet a la televisión de alta resolución. Y detrás de estos códigos hay, esencialmente, números.

En los productos comerciales, en el ISBN de los libros, en las etiquetas de almacenamiento, en los identificadores de los exámenes de selectividad, en cheques bancarios, en tarjetas, en envíos postales,… por todas partes aparecen códigos de barras: una información numérica precisa e identificadora es convertida a una secuencia de barras blancas y negras que pueden ser leídas de forma óptica y, recuperando la información, esta puede almacenarse o manipularse. En estos códigos aparecen dígitos de control asociados a los dígitos informativos y que permiten a los lectores ópticos detectar posibles errores.

 La criptografía y los números primos.

Crear y romper secretos ha sido siempre un tema de interés. En criptografía se trata de inventar y romper códigos secretos. Curiosamente en la criptografía actual juegan un papel crucial los números primos, naturales solo divisibles por ellos mismos y la unidad (1, 2, 3, 5, 7,…).

Nótese que dado un número n puede ser muy complicado determinar si n es primo o no, pues debemos garantizar que no es exactamente divisible por ningún número menor que él. Y ello puede ser una labor muy, muy fatigosa. También es tedioso dar un número (por ejemplo 3024) y descomponerlo en dos factores (3024 = 36´84).

La sorpresa es que gran parte de las sofisticadas técnicas, para garantizar hoy en Internet la seguridad en la transmisión de datos confidenciales, se fundamentan en esta dificultad (humana y computacional) para descomponer números. Si se disponen de dos primos grandes p y q y se multiplican (¡fácil!) se obtiene un número elevado m = p·q. Para el que quiera descomponer m el trabajo será largo si no conoce ni p ni q, pues al ser ambos primos, m no tendrá otros divisores. Este tipo de ideas han dado lugar a la denominada Criptografía de clave pública (y métodos como los de R. Merkle, W. Diffie y M. Hellman; el RSA de R. Rivest, A. Shamir y L. Adleman; el método Elgamal; etc.).

Si en el momento de enviar los dígitos de una tarjeta de crédito  una parte de ellos queda visible a posibles piratas informáticos pero otra parte D de los dígitos se transmite multiplicada por un número primo grande P conocido por el receptor, cuando éste reciba el resultado D·P dividirá por P y tendrá D al instante. Si el pirata solo puede “ver D·P” tendrá trabajo para hallar D pues además no sabe nada ni de D ni de P.

Conclusión.

En este breve recorrido histórico por los números se aprecia como el sistema numérico ha sido el resultado de un largo proceso. El resultado es hoy magnífico por lo que podemos afirmar que crear los números fue realmente un gran paso para la humanidad.

Actualmente la Teoría de números es una activa y brillante rama de la matemática que sigue investigando temas numéricos de gran calado. Pero además las aportaciones de los números al progreso tecnológico y científico están en la base de la actual revolución del conocimiento. Grandes pasos futuros serán posibles gracias a los números. Afortunadamente, lo mejor está aún por venir.

Bibliografía:

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Claudi Alsina

Doctor en Matemáticas.

Catedrático de matemáticas (jubilado) de la Universidad Politécnica de Catalunya.