La Gravedad: ¡Hágase Newton! Y la luz se hizo…
¿Y Einstein?
La naturaleza y la luz yacían ocultas en la Noche.
Dijo Dios: "Sea Newton", y todo se hizo luz.
Alexander Pope.
Pero no duró mucho, pues el diablo gritó: ¡Ho!,
"Sea Einstein", y se restauró el statu quo.
John Collins.
El
título de este capítulo, como muchos os habréis dado cuenta, hace referencia al
elogioso epitafio que el poeta británico Alexander Pope dedicó a Isaac Newton.
Menos conocida es la réplica que John Collins le añadió para hacer constar que
la maquinaría perfecta de la mecánica newtoniana hubo de ser retocada por
Albert Einstein.
De
esto es precisamente de lo que os quería hablar, de los primeros pasos de una
teoría nueva, la Relatividad General, con los primeros intentos de incorporar
la fuerza gravitatoria a la Teoría Especial de la Relatividad. Estamos en los
años entre 1905 y 1908. Los argumentos que emplearé son bastante conocidos y
sugieren, aunque no describen completamente, fenómenos que solo pueden ser
estudiados con la Teoría General. Sin embargo, pese a estar superados hoy en
día, dan buenas pistas que apuntan hacia lo que debería describir una teoría
completa. Sin llegar a dicha Teoría General, por tanto, me ocuparé de la
evolución del llamado principio de equivalencia.
Como
referencia básica, me he guiado por el capítulo introductorio de [1]. Para las
notas históricas, me he basado en [2].
En
1905 Albert Einstein, todavía funcionario de la Oficina de Patentes de Berna,
realizó tres contribuciones fundamentales a la Física, que revolucionaron la
ciencia del siglo XX.
En
el primero de sus trabajos de ese año, Einstein explicó el efecto fotoeléctrico
(la emisión de electrones por ciertos materiales al ser irradiados), basándose
en la hipótesis de Max Planck, formulada cinco años antes, de que la radiación
electromagnética no es un continuo, sino que está formada por paquetes, los
cuantos de energía E = hν proporcional a la
frecuencia de la radiación, ν.
La constante de proporcionalidad es la constante h de Planck, que toma un valor muy
pequeño, h = 6.63 · 10-34Js, lo que explica que no fueran
detectados con anterioridad. Este trabajo le valió el premio Nobel de Física
años más tarde. Max Planck había formulado su hipótesis de los cuantos para
explicar el espectro de radiación del cuerpo negro. Estos trabajos supusieron
la fundación de la mecánica cuántica, la primera de las grandes revoluciones
científicas del siglo XX.
En
el segundo trabajo, Einstein introdujo una de sus aportaciones más conocidas,
la teoría de la relatividad especial, que reconciliaba la mecánica con el
electromagnetismo.
Finalmente,
Einstein sentó las bases de la mecánica estadística al dar una explicación para
el movimiento browniano de las partículas en un fluido.
En
este capítulo nos dedicaremos a algunas de las contribuciones a las que estos
trabajos dieron lugar. Es decir, nos ocuparemos del trabajo de Einstein
posterior a 1905, pero anteriores a la publicación de la teoría general de la
relatividad, que permitiría incorporar el campo gravitatorio al marco de la
teoría de la relatividad.
Sin
llegar a describir la teoría de la relatividad general, analizaremos las
consecuencias del llamado principio de
equivalencia, que simplemente expresa el hecho experimental de que todos
los cuerpos caen con igual aceleración, independientemente de su composición,
algo ya conocido por Galilei a principios del siglo XVII.
Como
veremos, la extensión del principio de equivalencia a otras áreas de la física,
distintas de la mecánica, permite extraer notables consecuencias relativas al
tiempo y a la trayectoria de los rayos de luz, que precisamente fundamentan la
necesidad de trascender la mecánica clásica, y que finalmente conducirían a la
formulación, por el propio Einstein, de la teoría de la relatividad general.
Aunque
los resultados que se van a consignar son solo cualitativamente correctos,
permiten dar una idea de las consecuencias de la relatividad general, sin
necesidad de profundizar en las complejidades de la teoría.
Dado
que los únicos conocimientos que se van a emplear van a ser el principio de
equivalencia y las leyes de Newton, para seguir este capítulo solo son precisas
las nociones de física que se imparten en cualquier curso elemental de física
general.
Para ello, comenzaremos con una breve
revisión de los antecedentes de la mecánica, comenzando por Aristóteles y
siguiendo por Galilei y Newton, para dar cuenta de la evolución histórica, a
grandes rasgos, de esta rama de la Física, haciendo hincapié en los aspectos
relacionados con el principio de equivalencia. Finalmente analizaremos las
consecuencias de la extensión de este principio, realizada por Einstein en los
años 1907-1908.
La mecánica aristotélica.
Me vais
a permitir que me remonte hasta la Edad Antigua, hasta la Grecia clásica.
Nuestro punto de partida será la Física de Aristóteles (Estagira 384
a.C.-Calcis 322 a.C.). ¿Por qué tan atrás?, ¿no íbamos a hablar de Einstein?,
os preguntaréis. La respuesta es sencilla: porque la influencia de este
filósofo se prolongó a lo largo de nuestra Edad Media gracias a la adaptación
que hizo Tomás de Aquino de su filosofía para cimentar una teología cristiana,
la escolástica. Hasta entonces había primado la influencia de la filosofía de
Platón, adaptada al cristianismo a través de las enseñanzas de Agustín de
Hipona.
Además,
Aristóteles fue uno de los primeros autores griegos en escribir un tratado de
Física. Esto no quiere decir que los filósofos anteriores no se ocuparan del
tema. Al contrario, desde Tales de Mileto todos los pensadores griegos
abordaron con mejor o peor fortuna la filosofía
natural, el estudio de la naturaleza.
Posiblemente
la principal contribución de Aristóteles a la ciencia moderna sea la
sistematización de la lógica deductiva, en el sentido de que la ciencia se debe
componer de una colección de axiomas, a partir de los cuales, por reglas de
razonamiento válidas, como los silogismos, se van deduciendo las proposiciones
verdaderas.
En
relación con el tema que nos ocupa, la gravitación, para Aristóteles los
cuerpos caen por su propia naturaleza,
buscando su lugar natural. Lo mismo
que la naturaleza del fuego le hace ascender, lo natural para los cuerpos graves sería ubicarse en el centro de la
Tierra.
En
la citada Física, Aristóteles da pábulo a uno de los errores populares más
comunes, que los cuerpos más pesados caen más rápido que los más ligeros. Una
idea fuertemente arraigada, que aún hoy no ha sido erradicada de la intuición
humana. No pretendamos, por tanto, que lo estuviera en el siglo IV a.C. De
hecho, para Aristóteles los tiempos de caída de los cuerpos son inversamente
proporcionales a sus pesos. Una afirmación sencilla de rebatir, que sería
contestada por Juan Filópono de Alejandría en el siglo VI.
Aparte
del movimiento natural de los
cuerpos, existen otros movimientos, que solo se mantienen por aplicación
continuada de una fuerza, ya que el estado natural
de los cuerpos es el reposo. Por ejemplo, en la filosofía aristotélica un
proyectil no sigue una trayectoria parabólica, sino que avanzaría en línea
recta hasta perder su impulso, movimiento antinatural,
para luego descender verticalmente hasta recuperar su posición natural, tal como hacen los personajes
de los dibujos animados1.
El principio de equivalencia galileano.
Esta
teoría aristotélica del movimiento no fue refutada definitivamente hasta los
trabajos de Galileo Galilei (Pisa 1564-Arcetri 1642) a comienzos del siglo
XVII. Las aportaciones de Galilei a la mecánica son innumerables. En oposición
a Aristóteles, descubrió que los cuerpos, independientemente
de su masa, caen con aceleración constante y que la distancia recorrida es
proporcional al cuadrado del tiempo de caída. Galilei obtuvo estos resultados
haciendo rodar bolas por planos inclinados y dejando oscilar péndulos de
materiales distintos, pero de igual longitud. La imagen sugerente de Galilei
arrojando objetos desde la torre de Pisa es, por tanto, apócrifa.
Aparte
de la validación experimental, Galilei aportó un razonamiento, un Gedankenexperiment, a favor de su idea:
pensemos en dos cuerpos A y B, de masas distintas. Si A es más pesado que B,
debería caer más rápido que B, de acuerdo con la idea preconcebida. Unamos A y
B con una cuerda delgada y dejémoslos caer de nuevo. Lo esperable es que B
frene la caída de A y por ello el nuevo cuerpo AB debería caer más rápido que
B, pero más lento que A. Sin embargo, si seguimos con la idea de que los
cuerpos más pesados caen antes, resultará que, como el nuevo cuerpo AB es más
pesado aún que los anteriores, debería caer más rápido que A y B por separado.
Esta contradicción servía de argumento a Galilei para justificar que la
velocidad de caída no podía depender de la masa de los cuerpos.
Este
resultado se conoce como la formulación débil del principio de equivalencia o principio débil de equivalencia, que
podemos expresar afirmando que dos
cuerpos caen, en presencia de la gravedad, al mismo tiempo, independientemente
de su masa y de su composición.
Esta
propiedad revela el carácter geométrico avant
la lettre de la gravedad, ya que, a estos efectos, no importan las
propiedades de los cuerpos, sino solo las distancias entre ellos.
Estas
y otras contribuciones las recoge Galilei en su obra De motu (sobre el movimiento), una colección de ensayos que no
llegó a publicar en vida, y en Discorsi e
dimostrazione matematiche intorno à due nuove scienze, publicada en 1638 en
Leyden, Países Bajos, eludiendo así la censura de la Inquisición.
El
principio débil de equivalencia fue comprobado con una precisión de un parte en
un billón (europeo) por Braginskii y su equipo en los años sesenta, aunque
seguramente es más impactante la imagen en vídeo de la caída de una pluma y un
martillo en la Luna, realizada por tripulantes de la misión Apolo XV, que
podréis localizar fácilmente en la red2 o el muy gráfico vídeo de la
BBC3.
A
Galilei debemos también el principio de
conservación de la cantidad de movimiento, también conocido como ley de
inercia, que afirma que, en ausencias de fuerzas externas, todo cuerpo
permanece en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme. Es decir, añade el
movimiento uniforme a la lista de movimientos naturales. Este principio se suele tomar como definición de los sistemas de referencia inerciales o
galileanos, que son aquellos en los que los cuerpos permanecen en reposo o
en movimiento rectilíneo en ausencia de fuerzas.
A
pesar de todas sus contribuciones a la mecánica Galilei no llegó a formular una
teoría de la gravedad.
Mecánica newtoniana.
La
evolución que supusieron las contribuciones de Galilei y Kepler a comienzos del
siglo XVII terminó por eclosionar en la figura de Isaac Newton (Woolsthorpe
1643-Londres 1727), quien en su larga vida abordó la práctica totalidad de los
problemas científicos de su tiempo, planteando, a diferencia de sus
antecesores, teorías cerradas para los fenómenos naturales, en lugar de
descripciones fenomenológicas. Ciertamente, buena parte del pensamiento
científico de Newton está presente en otros autores, pero solo él tuvo la
genialidad de comprender su alcance y significado. Sin duda sus Philosophiae naturalis principia mathematica
(1687) constituyen la mayor aportación hasta la fecha a la Física en toda su
historia.
En
el campo estrictamente matemático, es bien conocida su contribución al cálculo
diferencial, compartida en agria polémica con Gottfried von Leibniz. En óptica
planteó una bella teoría, la cual, aunque errónea, se anticipó varios siglos a
la mecánica cuántica, al sugerir la naturaleza corpuscular de la luz.
En
el tema que nos ocupa, nos centraremos en dos trabajos exclusivamente, las tres
leyes de la mecánica y la ley de gravitación universal, ambas incluidas en los Principia.
La
ley de gravitación universal ya había sido postulada para describir el
movimiento de los planetas alrededor del sol por Robert Hooke, quien reclamó su
paternidad frente a Newton. Independientemente de ello, el gran acierto de
Newton fue precisamente el carácter universal de la ley, pues describe, no solo
el movimiento de los planetas, sino el movimiento de cualquier cuerpo sometido
a la atracción gravitatoria, como un péndulo o un objeto en caída libre.
La
ley de gravitación resume y explica las tres leyes empíricas relativas al
movimiento de los planetas de Kepler, quien, como se ha mencionado, no llegó a
formular una teoría propia al respecto. Se limitó a expresar leyes
fenomenológicas a partir de sus observaciones y las de su predecesor Tycho
Brahe, matemático imperial en la corte de Rodolfo II:
1. Los planetas describen
órbitas elípticas alrededor del sol, situado en uno de los focos.
2. El segmento que
une el planeta con el sol barre áreas iguales en tiempos iguales.
3. Para
dos planetas cualesquiera el cociente de los cuadrados de sus períodos es igual
al cociente de los cubos de los radios medios de sus órbitas.
La
genialidad de Newton y de Hooke fue comprender que las dos primeras leyes
implicaban una fuerza gravitatoria central F (orientada a lo largo
del segmento r que une los centros del Sol y del planeta) y
con magnitud proporcional al inverso del cuadrado de la distancia r y a las masas del Sol
M y del planeta m,
𝑭 = − (𝐺𝑀𝑚/
r3) 𝒓
si bien
Hooke no consiguió demostrar matemáticamente su intuición, logro que
corresponde a Newton, quien conocía, no obstante, el trabajo de Hooke.
Al
margen de sus éxitos, la ley de gravitación adolecía de un problema filosófico
para la época, la acción a distancia. No era concebible que un cuerpo
interactuara con otro sin que mediara el contacto entre ellos.
De
hecho, René Descartes había formulado con anterioridad otra teoría alternativa
de la gravitación, en la cual el universo estaba lleno de un material, el éter,
cuyo movimiento en remolinos arrastraba a los cuerpos celestes, los cuales
alimentaban a su vez a los remolinos de éter. Esta teoría, modificada por
Nicolas Malebranche, estuvo en boga en el continente europeo en competencia con
la ley newtoniana hasta que fue finalmente refutada.
En
1735 la Academia de París organizó dos expediciones para medir un grado de
meridiano de la superficie de la Tierra. Una de las expediciones, comandada por
Pierre Louis Moreau de Maupertuis, se encaminó a Laponia, para medirlo en las
proximidades del polo, mientras que la segunda, dirigida por Charles Marie de
La Condamine, se dirigió a Perú, para medirlo en las proximidades del ecuador.
Como consecuencia de las expediciones se estableció que la tierra es oblata (achatada
en los polos), en contradicción con la teoría de Descartes, que propugnaba que
era prolata (alargada por los polos), y en consonancia con la teoría
newtoniana, que recibió el espaldarazo definitivo.
En
la expedición al Perú participó el español Jorge Juan y Santacilia (1713-1773),
al que recordaréis por los billetes de 10.000 pesetas, cuyas anotaciones fueron
recogidas en el libro Observaciones
astronómicas y físicas hechas en los Reinos del Perú.
Otros
grandes éxitos de la teoría newtoniana fueron la predicción de la órbita del
cometa Halley en su regreso en 1759, la descripción de las órbitas de planetas
y asteroides en el sistema solar con una precisión de una parte en cien
millones. Ya en tiempos de Newton se hallaron cometas que seguían órbitas no
elípticas, sino parabólicas.
También
explica la ley de gravitación universal el fenómeno de las mareas y sirvió para
que Urbain Jean Joseph Leverrier y John Couch Adams predijeran la existencia
del planeta Neptuno, descubierto en 1846, a partir de las anomalías en la
órbita de Urano.
Este
último éxito fue tal que cuando se conocieron las discrepancias en la órbita de
Neptuno, se postuló la existencia de un noveno planeta, Plutón, que fue
descubierto en 1930 por Clyde W. Tombaugh, aunque resultó ser un planeta enano.
Del mismo modo, las anomalías en la órbita de Mercurio sugirieron la existencia
de un nuevo planeta interior, cuya trayectoria quedaría oculta por el brillo
del sol. Sin embargo, en este caso no se halló tal planeta y la explicación
correcta tuvo que esperar a la teoría de la relatividad de Albert Einstein.
Así pues, podemos afirmar que la teoría
newtoniana murió de éxito, ya que sus logros fueron el motivo de la necesidad
de su revisión. Aparte de las discrepancias en la órbita de Mercurio, cuyo
perihelio (posición más próxima al sol en su órbita) avanza 42.7'' cada año,
quedaban otros problemas sin resolver, muchos de ellos de índole
filosófica.
Aparte
de la acción a distancia e instantánea
de la fuerza gravitatoria, quedaba por explicar el carácter absoluto de la
aceleración en la teoría newtoniana, a diferencia de la velocidad, que
solamente es relativa. ¿Respecto a qué aceleraban los cuerpos? O, dicho de otra
manera, ¿qué determinaba los sistemas inerciales? Para Newton la aceleración es
relativa al espacio absoluto. Otros, como
el matemático y filósofo George Berkeley, pensaban que aceleramos respecto a
las estrellas fijas lejanas, que determinarían un sistema de referencia
inercial. El físico y filósofo Ernst
Mach sostenía que era la propia materia del universo la que determinaba la
inercia. Aunque este punto de vista motivó
a Einstein para formular la teoría de la relatividad, las ideas machianas
fueron refutadas por esta.
Principio de equivalencia fuerte.
Saltamos
un siglo y nos encontramos con Albert Einstein. Entre 1905 y 1908, fue decisiva
su intuición al percatarse de que el principio galileano tenía muchas más
implicaciones que las que habían sido ya descubiertas y le otorgó un papel
fundamental en su razonamiento. De hecho, las consecuencias del principio de
equivalencia son tan profundas que anuncian el final de la mecánica clásica, que
paradójicamente había contribuido a fundar.
Del
principio de equivalencia se concluye que las leyes de la mecánica son las
mismas en un campo gravitatorio uniforme g
que en un sistema con aceleración -g,
𝑭 + 𝑚𝒈 = 𝑚𝒂
⇔ 𝑭 = 𝑚𝒂 − 𝑚𝒈
simplemente
cambiando de lado el término gravitatorio, convirtiendo la fuerza gravitatoria
en aceleración.
Por
tanto, podemos eliminar el campo gravitatorio uniforme con una aceleración, por
ejemplo, dejándonos caer en caída libre en el propio campo gravitatorio. De hecho,
muchos de los experimentos de ingravidez
se realizan a bordo de aviones o en naves espaciales en órbita con los motores
apagados, es decir, en caída libre en
el campo gravitatorio terrestre. Aunque, por su impulso inicial, no caigan, sino que orbiten en trayectorias
elípticas. Nuevamente, esto dista de ser obvio popularmente. Solo hace falta
echar un vistazo a De la Tierra a la Luna, para encontrarnos con que Julio
Verne pensaba que esto solo sucedía en el punto en el que la atracción
terrestre y lunar se compensan.
Hasta
aquí, no hay nada nuevo que no estuviera presente en el principio de
equivalencia de Galilei. La genialidad de Einstein consistió en su
generalización.
Si
para Galilei no podíamos distinguir entre un campo gravitatorio y una aceleración
uniforme con experimentos mecánicos, para Einstein las leyes de la Física tampoco deben distinguir entre uno y otra. O, lo
que es lo mismo, las leyes de la Física
en un laboratorio en caída libre en un campo gravitatorio son las mismas que en
un sistema inercial. Al menos, a cortas distancias, para que las
variaciones del campo en el espacio, las llamadas fuerzas de marea, no sean
perceptibles.
Este
enunciado se conoce como principio de
equivalencia fuerte o principio de equivalencia de Einstein y recoge dos
elementos fundamentales: la extensión del principio galileano fuera del ámbito
de la mecánica y a campos gravitatorios no uniformes. Veremos a continuación
que este principio tiene consecuencias de alcance insospechado.
Curvatura de los rayos de luz.
Consideremos
un laboratorio en caída libre (Fig.1), con aceleración, por tanto, igual al
campo gravitatorio, a=g. Desde un extremo A del laboratorio
emitimos una señal luminosa.
Como
el laboratorio es un sistema inercial de acuerdo con el principio de equivalencia
de Einstein, la señal sigue una trayectoria recta dentro del laboratorio en
caída libre (parte izquierda de la Fig.1).
Sin
embargo, visto desde fuera, es decir, inmersos en el campo gravitatorio g, observaremos que la trayectoria de
la señal se curva por efecto de la gravedad (parte derecha de la Fig.1).
Fig.1.
Este
resultado tiene sentido si pensamos en la luz como un haz de partículas, los
fotones, y tenemos en cuenta que, por la equivalencia entre masa y energía, los
fotones han de sentir el campo gravitatorio.
Esta
sorprendente predicción del principio de equivalencia fue confirmada después de
la primera guerra mundial por una expedición angloalemana a la isla Príncipe,
dirigida por el astrónomo británico Arthur Eddington4.
La
idea del experimento consistía en que la masa del sol curvaría los rayos de luz
(Fig.2) provenientes de estrellas lejanas y por ello se podrían observar
estrellas ocultas tras el disco
solar. El ángulo de desviación esperado era
Θ
= (4𝐺𝑀) / (𝑐2𝑅)
= 1.75″
siendo
𝐺 la constante de gravitación universal, 𝑀
la masa del sol, 𝑐 la velocidad de la luz en el vacío y 𝑅
el radio del sol.
En
realidad, con el principio de equivalencia solo se predice la mitad de este
valor. El resultado completo lo proporciona la teoría de la relatividad
general.
Obviamente,
la propia luz del Sol impediría la observación de las
estrellas, por eso se esperó hasta el eclipse solar de 1919. Intentos
anteriores fracasaron por culpa de la guerra, la niebla, la lluvia y la negligencia.
Fig.2.
No
obstante, la expedición de Eddington tampoco estuvo exenta de emoción. En
palabras del propio Eddington:
"La
lluvia cesó alrededor del mediodía y hacia la una y media... comenzamos a
vislumbrar el sol. Tuvimos que tomar las fotografías a ciegas. No veíamos el
eclipse, ya que estábamos demasiado ocupados cambiando las placas, salvo un
vistazo para asegurarnos de que había comenzado y otro a la mitad para ver
cuánta nube había. Tomamos dieciséis fotografías. Todas eran buenas en cuanto
al sol, que mostraba una prominencia destacable; pero la nube había interferido
con las imágenes de las estrellas. Unas pocas de las últimas fotografías
mostraban unas pocas imágenes que espero que nos proporcionen lo que
necesitamos...''
¡De
entre las dieciséis tomas, solo una sirvió para confirmar la teoría de
Einstein!
Este
experimento supuso el espaldarazo definitivo a la teoría de la relatividad
general. Hoy en día, repetir el experimento está al alcance de astrónomos
aficionados5.
Se
ha mencionado que Newton había elaborado una teoría, errónea, de la óptica. Sin
embargo, su idea de la naturaleza corpuscular de la luz le había llevado a predecir
que el Sol influiría sobre las trayectorias de los rayos. De hecho, otro
físico, Johann von Soldner, halló también el valor del ángulo Θ ya en
1801.
Desplazamiento Doppler gravitatorio.
Otra
predicción destacable del principio de equivalencia es que la gravedad no solo
afecta a la trayectoria de los rayos de luz, sino también a su frecuencia ν.
Para
justificarlo, volvamos a nuestro laboratorio en un campo gravitatorio g, Esta vez emitimos una señal luminosa
desde el techo (Fig.3), la cual, como estamos en un sistema de referencia
inercial, tardará en recorrer la altura 𝐿 del laboratorio en
un tiempo 𝑡=𝐿/𝑐 antes de llegar a un
punto A del suelo.
Por
la igualdad entre masa y energía, un fotón de energía 𝐸=ℎν pierde
energía potencial gravitatoria 𝐸𝑔𝐿/𝑐2
al
descender la altura 𝐿, que se incorpora a la energía cinética 𝐸=ℎνA en ese punto inferior.
Por tanto, por la conservación de la energía,
ℎν+ (ℎν/𝑐2)𝑔𝐿=ℎνA⟹ (νA – ν)/ν=
∆ν/ν=𝑔𝐿/𝑐2
al
descender a A en el campo gravitatorio g
la señal luminosa experimenta un incremento de frecuencia ∆ν.
Es decir, la señal luminosa sufre un desplazamiento hacia el azul, hacia las
frecuencias más energéticas. A la inversa, al remontar un campo gravitatorio, la
señal luminosa experimentará un desplazamiento hacia el rojo, al aumentar su
energía potencial en detrimento de su energía cinética.
Fig.3.
Esta
predicción de Einstein no podía verificarse cuando formuló el principio de
equivalencia en 1907. Desde los años sesenta, sin embargo, se ha ido
comprobando cada vez con mayor precisión hasta llegar a 2·10-4,
en un experimento que llevó un reloj basado en un máser de hidrógeno a una
altura de diez mil kilómetros.
Este
desplazamiento Doppler gravitatorio se corrige de manera rutinaria en los
sistemas de posicionamiento global, GPS, basados en relojes que orbitan
alrededor de la Tierra.
Dilatación gravitatoria del tiempo.
Una
consecuencia adicional del desplazamiento Doppler de la frecuencia de una señal
en presencia de un campo gravitatorio es la dilatación de los intervalos de
tiempo.
Como
la frecuencia de la señal es la recíproca de su periodo 𝑇,
el aumento de la frecuencia al descender en un campo gravitatorio se traduce en
una disminución equivalente del periodo𝑇 de la señal,
𝑇=1/ν ⟹ ∆𝑇/𝑇 = − ∆ν/ν = − 𝑔𝐿/𝑐2
Por
tanto, el campo gravitatorio dilata los tiempos (Fig.4). Si pensamos, como en
el experimento mental anterior, en dos relojes separados una altura 𝐿,
el inferior va más lento, pues mide un intervalo de tiempo menor entre dos
crestas de una señal luminosa.
Fig.4.
Este
fenómeno ha sido comprobado repetidas veces con relojes volando a gran altura y
en cohetes. Los relojes en órbita muestran un ligero adelanto respecto a sus
homólogos sobre la superficie terrestre.
Es
lo que les sucede, por ejemplo, a los protagonistas de la película Interstellar
(atención, spoiler): al estar sometidos al campo gravitatorio intensísimo de un
agujero negro, el tiempo ha transcurrido para ellos más despacio que para sus
familiares que se quedaron en la Tierra. O en la recomendable canción '39, de
Queen, donde se narra la partida y el regreso de una nave espacial6.
Podríamos decir que un campo gravitatorio, o un acelerón intenso, nos mantiene
más jóvenes.
Conclusión.
Con
este capítulo he pretendido mostrar el gran paso que supuso para la humanidad la
extensión que hizo Einstein del principio de equivalencia galileano. Cierto es
que no os estoy contando la historia completa, pero a Einstein le proporcionó
la intuición necesaria para incorporar el campo gravitatorio a la teoría de la
relatividad especial.
Como
hemos visto, con la ayuda del principio de equivalencia, Einstein obtuvo
resultados que trascendían la mecánica clásica y que motivaron su
reformulación.
Sin
embargo, el principio de equivalencia no proporciona ninguna teoría
consistente, aunque conduce a resultados cualitativamente correctos, por lo
cual es de gran ayuda para comprender algunos aspectos de la teoría de la
relatividad, sin necesidad de emplear todo su aparato matemático. Este era mi
objetivo al redactar este capítulo.
No
obstante, para poder comprender los fenómenos a los que apunta el principio de
equivalencia, es precisa la teoría general de la relatividad, publicada por
Albert Einstein en 1915, tras varios intentos fallidos.
Para
llegar a ella, Einstein se apoyó, no solo en el principio de equivalencia, sino
en el principio de covariancia, que
afirma que las ecuaciones de la física deben tener la misma forma en cualquier
sistema de referencia, inercial o no. Sus ecuaciones son tan conocidas como las
de la ya mencionada identidad entre masa y energía,
𝑅μν
– (𝑅𝑔μν)/2
= (8𝜋𝐺/𝑐4)𝑇μν
donde
𝑅 es la curvatura del espaciotiempo y 𝑇,
su contenido de energía y momento.
Ya
tendremos ocasión de hablar de ellas, cuando corresponda... De momento, os
animo a consular los ficheros de divulgación de la Sociedad Española de
Gravitación y Relatividad (SEGRE) en http://www.segre.es
Referencias:
[1] Straumann, N., Ed. 2004. General
relativity with applications to astrophysics. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg.
[2] MacTutor history of mathematics archive, University of Saint Andrews.
Leonardo
Fernández Jambrina
Licenciado en Ciencias Físicas y en
Ciencias Matemáticas.
Doctor en Ciencias Físicas.
Catedrático de Matemática Aplicada
en la Universidad Politécnica de Madrid (UPM).
Expresidente de la Sociedad Española
de Gravitación y Relatividad (SEGRE).
Notas:
4 Preguntado
Eddington si era cierto que solo había tres personas en el mundo que
entendieran la teoría de la relatividad, se quedó un rato dubitativo,
preguntándose quién sería el tercero.
6 Don't you hear my
call though you're many years away. Don't you hear me calling you. Write your
letters in the sand for the day I take your hand in the land that our
grandchildren knew.
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