El cálculo infinitesimal - Luis Español González

El cálculo infinitesimal: llave de la mecánica en el fecundo siglo XVII.

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Explicar el cálculo infinitesimal como un gran paso de la humanidad requiere presentarlo como un devenir. Su pasado se aprecia como una acumulación de avances de diverso alcance realizados aquí y allá por la comunidad matemática (entendida como corresponde a cada época). Llegado el momento, cristalizan en el lugar más abonado como un presente creativo protagonizado por las mentes más geniales que, meditando sobre el material acumulado, ven más y mejor que quienes les precedieron y sus contemporáneos. El presente creador del cálculo infinitesimal se produjo en el último tercio del siglo XVII y los colosos protagonistas fueron el inglés Isaac Newton (1642-1727) y el alemán Gottfried W. Leibniz (1646-1716).

Fig.1. Retratos de Newton (izda) y Leibniz (dcha).

En este breve ensayo no será posible entrar en detalles, comparar las ideas clave de Newton (cinemáticas) con las de Leibniz (combinatorias), ni mucho menos en dar noticia puntual de la sucesión temporal de los logros de cada uno y de la polémica sobre prioridad que los británicos provocaron.

Tras los fundadores, enseguida llegó un futuro en el que las aplicaciones del cálculo infinitesimal justifican que se le califique como un gran paso de la humanidad, que fue la llave para otros muchos progresos en diferentes ámbitos del conocimiento y la práctica.

Sin minusvalorar los avances del siglo anterior, el siglo XVII fue decisivo para la ciencia en Europa, se produjeron cambios profundos en la visión del mundo y en la capacidad humana para intervenir en la naturaleza. Avances técnicos y logros teóricos se realimentaron para llevar a cabo una revolución científica. El estudio científico del movimiento fue uno de los logros cruciales. El movimiento de los planetas, de los proyectiles, de las máquinas, alcanzó una formulación matemática gracias a una nueva herramienta: el cálculo infinitesimal. No solo hizo posible la mecánica, también propició los estudios del cambio continuo en todo tipo de problemas físicos, de la probabilidad, la economía, la biología, etc.

Primeras preguntas.

¿Qué es el cálculo infinitesimal? Habrá que ir contestando a esta pregunta por aproximaciones sucesivas y considerando sus partes más sencillas que permitan apreciar su esencia sin demasiados tecnicismos. Vendrá bien proceder con esa visión genética que sostiene que para entender mejor conviene no perder de vista el proceso histórico. 

¿Qué es el cálculo? Un cálculo es una piedra, los pastores antiguos ponían piedras en una cesta para contar ovejas. Distribuyendo piedras en diversos recipientes se realizaban cálculos numéricos (sumas, restas, etc.), para los que el instrumento preferido fue durante muchos siglos el ábaco. Cuando llegó el álgebra, las ecuaciones se resolvían haciendo cálculos (cuentas) con los datos conocidos hasta obtener el valor de la incógnita. Estos cálculos numéricos y algebraicos se hacían con cantidades finitas y mediante un número finito de operaciones con ellas.

¿Qué significa infinitesimal? Lo infinitesimal es lo infinitamente pequeño, lo inverso de lo infinitamente grande. Sumando 1 sucesivamente con mucha paciencia, los números n se van haciendo infinitamente grandes, mientras que sus fracciones inversas 1/n se van haciendo infinitamente pequeñas. Algunas sumas de sumandos que se van haciendo infinitamente pequeños crecen hasta un tope, como los inversos de las potencias sucesivas de 2:

(1/2)+(1/4)+(1/8)+(1/16)+····+1/2ⁿ)+···

Los matemáticos no dudan en dar el valor 1 a esta suma infinita, porque si primero recorro la mitad del camino, luego avanzo la mitad de lo que queda y así sucesivamente, está claro que me acercaré a 1 todo lo que quiera y en ese infinito final llegaré a 1. Los griegos clásicos ya conocían esta suma y otras análogas con su método de exhaución, que utiliza una reducción al absurdo: para demostrar que una suma infinita es igual a 𝑆 se prueba que no puede ser menor que S ni mayor.

Por aquí empieza el cálculo infinitesimal, sumando infinitas cantidades que se van haciendo infinitamente pequeñas. Las partes de la magnitud discreta se cuentan con una unidad indivisible, pero en las magnitudes continuas hay posibilidad ilimitada de crecer y de dividirse. La esencia del cálculo infinitesimal está en el estudio del continuo, del espacio y del tiempo de la geometría como sustrato de física (con otras magnitudes continuas como el peso, la temperatura, la presión, etc.).

Arquímedes.

El gran Arquímedes usó una suma infinita para cuadrar un segmento de parábola, que es el área entre la parábola y una cuerda. Cuadrar significa comparar un área con otra.

Fig.2. Arquímedes de Siracusa (s. –III).

Arquímedes encontró la razón entre el área S del segmento y el área T de un triángulo asociado: cada cuerda determina una tangente paralela y un triángulo de lado la cuerda y vértice opuesto el punto de tangencia. Este fue su argumento: El triángulo deja otros dos segmentos, uno a cada lado, cada uno con su triángulo que, por propiedades de la parábola, resultan tener áreas iguales a T₁=(1/8)T. El área del primer triángulo 𝑇 más los dos T₁ vale T+(1/4)T=(1+(1/4))T.

Fig.3. La cuadratura de la parábola como suma infinita de triángulos.

Para completar S quedan cuatro segmentos cada uno con su triángulo: resultan de nuevo todos iguales a T₂=(1/8)T₁=(1/8²)T . Las áreas de los siete triángulos que van llenando 𝑆 suman (1+(1/4)+(1/4²))T. Continuando indefinidamente la suma de triángulos hasta dejar “exhausto” 𝑆, Arquímedes alcanza la suma ilimitada

S=(1+(1/4)+(1/4²)+(1/4³)+···+(1/4^{(n^n)})+···)T=(4/3)T.

El método que usó para llegar a 4/3 tuvo una parte heurística con inspiración en la estática (ley de la palanca) y luego una prueba matemática del resultado por el método de exhaución. Arquímedes hizo una segunda demostración por un método de aproximación por defecto y por exceso que usaron sus seguidores del siglo XVII.

Otras características de los “métodos infinitesimales” aparecen en el estudio de la espiral, curva que el sabio de Siracusa definió mediante movimientos: un segmento OA de longitud R gira alrededor de O con movimiento uniforme, de modo que A describe una circunferencia Γ de centro O y radio R. Al mismo tiempo, un punto P se mueve en el segmento OA partiendo de O con movimiento uniforme para ir hasta A mientras OA da la primera vuelta. En cada punto P de la espiral, el radio vector OP tiene una longitud r igual al arco Ɵ girado medido en radianes (ecuación r=Ɵ en coordenadas polares); al completar la vuelta se alcanza el valor R=2π. Usando ideas que se consagraron como intuiciones básicas sobre lo infinitesimal, Arquímedes resolvió dos problemas con esta curva:

-Cuadrar el área barrida por el segmento OP en la primera vuelta.

-Trazar la tangente en cada punto.

Fig.4. La espiral de Arquímedes: cuadratura.

Comparó el área 𝐸 limitada por la espiral y el segmento OA con el área C del círculo limitado por Γ. Tomó el área E como suma de sectores desde el vértice O hasta arcos “muy pequeños” de la espiral, que pudo acotar mediante sectores circulares de radios los de los extremos del arco de espiral. Dividiendo la vuelta completa en n partes iguales, el sabio de Siracusa encontró una acotación

(s(n)/n³)<(E/C)<(S(n)/n³),

usando una suma que sabía calcular,

S(n)=1²+2²+3²+···+n²=(1/6)n(n+1)(2n+1),

y su versión corta s(n)=S(n-1). Ambas cotas verifican

(s(n)/n³)<(1/3)<(S(n)/n³)

y la diferencia entre ellas es cada vez menor cuando n crece y la partición se hace más fina, así que en la posición última será

(E/C)=(1/3)

La cuestión del trazado de la tangente es aún más interesante. Los griegos tenían una noción intuitiva de tangente: la recta que “solo toca” a la curva en un punto. Con esta idea, la tangente a la circunferencia en un punto es la perpendicular al radio, así quedó explicado en Elementos, la gran obra de Euclides (s. –IV/III). Más avanzado, Apolonio (s. –III) mostró cómo trazar las tangentes a las cónicas, combinando tangentes y normales con cuestiones de distancias máximas y mínimas.

Por su parte, Arquímedes halló la tangente en un punto P de su espiral dando un incremento ε “muy pequeño” al ángulo Ɵ, lo que lleva a un punto Q de la espiral “muy próximo” a P (en la Fig. 5 está exagerada la separación). Se tiene por otra parte el arco PR correspondiente a ε pero tomado en la circunferencia de radio OP=r, así que PR=rε. El triángulo PRQ tiene un lado recto QR=ε y los otros dos curvos, siendo rectángulo en R y con ángulo α en P (los ángulos formados por las curvas son los de sus tangentes) así que la perpendicular a OP por O cortará a la tangente a la espiral en P formando ángulo α en un punto T  con el segmento OT de longitud t. Arquímedes aplica la semejanza de los triángulos QRP y POT para obtener una razón de arcos igual a una razón de segmentos: (QR/RP)=(PO/OT). Este argumento es muy osado, porque uno de los triángulos es curvilíneo, pero Arquímedes se siente autorizado al ser ε “muy pequeño”, de modo que el arco es “casi recto”, es “casi igual” al segmento de la tangente. Resulta pues (ε/rε)=(r/t), es decir, t=r², y la tangente PT queda determinada.

Fig.5. La espiral de Arquímedes: tangente.

Así, con un argumento bastante atrevido, gracias a una intuición acertada sobre lo infinitesimal, logró un resultado que evaluamos como correcto con los métodos exactos actuales.

Arquímedes usó también estas habilidades para comparar volúmenes de cilindros, conos y esferas, pero la matemática griega no pudo avanzar más en esta dirección que tan brillantemente inició el siracusano. Aquella matemática fue apta para la estática pero no para el movimiento, hubo que esperar hasta que una acumulación de nuevos saberes propiciara la aparición del cálculo infinitesimal.

Tiempo de espera fructífero.

Tras el esplendor de la Grecia helenística, el periodo medieval europeo fue escaso en nuevas especulaciones, pero muy rico en experiencias prácticas. El saber griego también se transmitió a Oriente y desde allí llegaron nuevas aportaciones decisivas a través de los árabes, que descargaron su riqueza científica en el norte de África y en la Península Ibérica. Las ciudades-estado italianas usaron las rutas comerciales con Oriente para importar también conocimiento.

En los comienzos del siglo XVII, Galileo inició el estudio científico experimental del movimiento. Calcular tangentes y áreas tiene que ver con el movimiento, basta pensar que las curvas son las trayectorias por las que circulan los puntos que estudia la cinemática y las tangentes marcan en cada punto de la curva la dirección instantánea del movimiento. Torricelli, Cavalieri, Mengoli, Roberval, seguidores de Galileo, se inspiraron en los métodos de Arquímedes para avanzar en la determinación de tangentes, áreas y volúmenes, calculando sumas infinitas y aplicando composición de movimientos en las curvas engendradas por algún tipo de mecanismo.

Cavalieri imaginó que un área es engendrada por un segmento de extremos variables que se mueve paralelo a sí mismo y que todas esas líneas eran las partes indivisibles de la superficie (como el punto es la parte indivisible de una longitud), de modo que el área era la “suma de todas las líneas” y áreas “con las mismas líneas” (o proporcionales) eran iguales (o proporcionales). Lo mismo sucede con los volúmenes, son “sumas de áreas”. Con estas ideas, habilidad intuitiva y no poca destreza en los argumentos y cálculos, obtuvo una cantidad notable de relaciones entre áreas y volúmenes.

El vínculo de las áreas con el movimiento tuvo un exponente magnífico en la segunda ley de Kepler (1609): Cada planeta se mueve siguiendo una elipse en uno de cuyos focos está el Sol y lo hace con velocidad variable, de manera que permanece constante el área barrida por el segmento que lo une con el Sol en intervalos iguales de tiempo. Las leyes de Kepler surgieron de una inducción genial a partir de las meticulosas observaciones tabuladas por Tycho Brahe, al mismo tiempo que Galileo inventaba el telescopio que mejoraría las observaciones. La segunda ley se refiere a velocidades medias, espacios recorridos en tiempos determinados, pero no a velocidades instantáneas, concepto reservado al cálculo infinitesimal que el propio Kepler vislumbró y ayudó a descubrir.       

Los matemáticos posteriores objetaron la falta de homogeneidad de las sumas de Cavalieri: no se puede, decían, sumar líneas para obtener áreas, para obtener áreas hay que sumar áreas, aunque sean “muy pequeñas”, partes “infinitesimales”. En esta cuestión se aprecia, como sucedió en la Grecia clásica, que tras la matemática hay una filosofía subyacente.   

Galileo dijo que el universo estaba escrito en lenguaje matemático cuando este se iba diferenciando del de los griegos, pues aparecieron dos nuevos lenguajes, uno para la aritmética y otro para el álgebra, que encontraban en la imprenta un enorme cauce de difusión nunca conocido antes:

-El sistema de numeración decimal.

-El lenguaje simbólico del álgebra.

El sistema decimal importado de Oriente permitía calcular mediante algoritmos eficaces y llevó a sustituir el ábaco por las primeras máquinas de calcular, aparecidas en el siglo XVII gracias a Pascal y a Leibniz, sin olvidar a los artesanos que las construían. Los inconmensurables que torturaron a los griegos dejaron de ser intratables, domesticados como irracionales con desarrollo decimal ilimitado no periódico, se usaban sin pudor aunque sin conocer demasiado bien su entidad conceptual. 

El lenguaje simbólico algebraico se fue gestando a través de numerosas iniciativas, llegó a tener una gran eficacia en manos de Vieta (s. XVI/XVII), cuya pauta siguió Fermat, pero alcanzó la formulación definitiva gracias a Descartes, que por algo era filósofo. Con este lenguaje simbólico, nuevas oportunidades de desarrollo se abrieron para el álgebra.

Naturalmente, estamos hablando del conocimiento nuevo que se genera en el pequeño grupo de sabios, cada vez más comunicados entre sí, pero los caminos y las velocidades de difusión de este conocimiento hacia capas sociales más amplias requeriría un estudio específico.

La geometría analítica.

En el ambiente descrito antes, pasado el primer tercio del siglo XVII, René Descartes (1596-1650) y Pierre de Fermat (1601-1665) identificaron una buena cantidad de curvas algebraicas, aquellas cuya definición como lugar geométrico se puede escribir de la forma F(x, y)=0, siendo F un polinomio que liga a los dos números variables (x, y) que determinan la posición de cada punto de la curva. Así, Fermat demostró que las cónicas de Apolonio se corresponden exactamente con las curvas de ecuaciones cuadráticas

F(x, y)=ax²+bxy+cy²+dx+ey+f=0.

Por su parte, Descartes resolvió el llamado problema de Pappus, que pedía determinar una curva como lugar geométrico a partir de ciertas rectas, algo que nadie antes supo hacer. La solución consistió en dar las ecuaciones de la curva, que podría ser de grado arbitrario según el número de rectas dadas; a partir de las ecuaciones, el álgebra se encargaría de extraer las propiedades de la curva.

Con el tiempo, esta geometría que usa el álgebra recibió el nombre de geometría analítica.

El matemático hispano-argentino Julio Rey Pastor (Logroño 1888 – Buenos Aires 1962) escribió en un ensayo de 1919 que los “caminos cardinales” por lo que la matemática “amplía sin cesar patrimonio” son la generalización, la especialización, la correlación y, como camino principal, “la anastomosis de problemas”, porque “los progresos esenciales corresponden a la feliz cópula de dos conceptos que parecían lejanos e independientes, y al librarlos de su envoltura formal descubren tal identidad de substancia, que se anastomosan y hasta se funden en uno solo. La Geometría analítica de Cartesio, origen de la Matemática moderna, realizó brillantemente esta anastomosis del Álgebra con la Geometría.” Con ella se trataron viejos problemas de un modo nuevo y se abordaron otros hasta entonces imposibles.

Descartes dio forma matemática a la idea vaga imperante de recta tangente a una curva algebraica, identificando la tangencia con la existencia de una raíz doble de la ecuación que resulta al cortar la recta con la curva. También introdujo el método de los coeficientes indeterminados para resolver los problemas de Apolonio sobre las normales a las cónicas y extender el tratamiento a otras curvas. Pero los métodos cartesianos tuvieron sus limitaciones, escapaban a su análisis numerosas “curvas mecánicas” a las que no se podía dar una ecuación algebraica. Nuevas funciones tenían que aflorar y nuevos métodos generales válidos para todas ellas. Un compatriota contemporáneo, De Beaune, propuso a Descartes determinar una curva conociendo datos acerca de sus tangentes; este tipo de problemas eran todavía inaccesibles, faltaba el cálculo infinitesimal.

Últimos precursores.

Una curva mecánica famosa fue la cicloide, descrita por un punto de la circunferencia que rueda sobre una recta. Roberval, Descartes y Huygens se ocuparon de estudiarla.

El primero de ellos determinó mediante composición de movimientos la tangente en cada punto y, siguiendo la técnica de “indivisibles” de Cavalieri, demostró que el área bajo un arco de cicloide es tres veces el área del círculo rodante que la engendra. En la Fig. 6, el área entre la cicloide OPFGN y la curva compañera OQAHN es igual a medio círculo generador, porque ambas figuras tienen las mismas líneas: TR=PQ, BC=FA, IJ=GH, etc. El área del triángulo rectángulo OLN, de base media circunferencia y altura el diámetro, es igual a la del círculo, y cambiando la hipotenusa ON por la curva compañera el área es la misma por compensación. Luego el área bajo media cicloide es vez y media la del círculo.

Fig.6. Roberval: área bajo la cicloide.

Fermat abordó desde la geometría analítica el cálculo con infinitesimales de Arquímedes, logró repetir con ecuaciones el cálculo del área del segmento de parábola y extender el método a otras curvas. Calculó un área complementaria mediante la aproximación por defecto y por exceso en rectángulos “muy pequeños”. Al hacerlo así, pudo extender el cálculo con la parábola ordinaria y=x² a la parábola generalizada y=x^k, con k un entero mayor que 2 (incluso una fracción). Para calcular el área que limita esta curva con el eje de abscisas y las ordenadas x=0, a, dividió el segmento base en n partes iguales para obtener rectángulos por exceso y por defecto cuya suma acota el área que busca,

(s(n)/n^k+1)<(1/(k+1)<(S(n)/n^k+1),

mediante unas sumas más generales que las de Arquímedes:

S(n)=1^k+2^k+3^k+···+n^k,   s(n)=S(n-1).

Fig.7. Fermat: Aproximación por defecto mediante rectángulos al área bajo la parábola.

Estas fórmulas, deducidas del triángulo aritmético mediante inducción, eran conocidas por otros contemporáneos como Pascal, quien tenía un contacto epistolar frecuente con Fermat. Al final de los cálculos, haciendo n cada vez más grande y los rectángulos a sumar “infinitesimales”, Fermat obtiene para el área bajo la parábola de orden k el valor (a^k+1)/(k+1). También aplica estos métodos a las hipérbolas generales y=1/^k, pero esta vez dividiendo la abscisa en intervalos en progresión geométrica.

De la lectura de Apolonio y Arquímedes, obtuvo también Fermat un modo muy general de plantear el problema de la tangente vinculándolo a cuestiones de máximos y mínimos. Si una curva tiene ecuación y=f (x) referida a un eje de abscisas OX, para conocer la tangente a la curva en uno de sus puntos P que se proyecta en P ' sobre el eje de abscisas, Fermat busca otro punto T en el eje de abscisas tal que PT sea la tangente; lo hace calculando la longitud t de la subtangente P 'T de este modo: Del punto P ' de abscisa x se desplaza a un punto “muy próximo” Q ' cuya abscisa será x+e, siendo e un incremento “muy pequeño”, un “infinitesimal”. Q ' será la proyección de un punto Q de la curva, con ordenada f (x+e) y también de un punto R sobre la tangente en P. Ya que el incremento e es “muy pequeño”, Fermat trata “como iguales” los puntos Q,R, es decir, son “como iguales” el arco de curva PQ y el segmento de tangente PR; así que concluye por semejanza de triángulos f (x+e)/f (x)= (t+e)/t, es decir,

tf (x+e)=(t+e)f (x).

Fig.8. Fermat: trazado de la tangente.

De esta relación elimina el incremento e, en los casos particulares que considera, realizando un “álgebra de infinitesimales” peculiar, en la que e se comporta en las operaciones como un número e≠0 pero que finalmente se anula. Por ejemplo, para la parábola y=x²:

t(x²+2ex+e²)=(t+e)x²,      2tx+te=x²,      2tx=x²,      t=x/2.

Además de los matemáticos europeos continentales mencionados, también británicos como Gregory, Wallis o Barrow, hicieron avances similares en el cálculo de tangentes, áreas, volúmenes y también longitudes de curvas. Barrow resaltó el cociente incremental que da la pendiente de la tangente, con la notación anterior es

D=(f (x+e) - f (x))/e .

Se trata de una de las expresiones clave del cálculo infinitesimal, debía tener un valor explícito aunque su expresión dependiera del incremento e infinitesimal arbitrario. Calculando a la manera de Fermat, para la parábola y=x² resulta D=2x+e=2x. Desprovisto del incremento infinitesimal e, este cociente incremental es lo que ahora llamamos la derivada yʼ=2x. Análogamente, la derivada de y=xⁿ es yʼ=nx^n-1. 

Newton y Leibniz.

Llegado el último tercio del siglo XVII, del grupo de matemáticos herederos de Arquímedes que calculaban con los infinitesimales, emergieron dos más penetrantes que fundaron al fin el cálculo infinitesimal: Newton y Leibniz. En el escritorio de estos genios, el cálculo infinitesimal se originó al concebir el cálculo de tangentes y de áreas de manera unitaria. El método de calcular tangentes fue llamado cálculo diferencial y el de calcular longitudes, áreas y volúmenes cálculo integral, estas son las dos partes que se anastomosan para formar el cálculo infinitesimal.

El cálculo diferencial recibe este nombre porque Leibniz llamó diferenciales (diferencias pequeñas) a los pequeños incrementos de una variable x y los designó dx (otra vez un filósofo acertando con el signo conveniente). Así, cuando en la relación y=f (x) la cantidad variable x recibe un incremento diferencial pasando a ser x+dx, la variable dependiente y pasa de f(x) a f (x+dx) siendo

(dy/dx)=(f (x+dx) - f (x))/dx.

Se dice que la derivada y ʼ=f  ʼ(x) “es igual a” dy/dx una vez que este cociente incremental se ha calculado como un número determinado en función solo de x, eliminando las diferenciales, lo que Newton y Leibniz hicieron en un principio usando la misma “álgebra de infinitesimales” que Fermat.

Newton pensaba que las variables eran siempre dependientes del tiempo y al producirse un cambio infinitesimal en el tiempo cambiaban de un modo lineal, apareciendo la derivada como coeficiente: se pasaban de x(t) en el instante t a ser un “momento” después

x(t+o)=x(t)+ẋ(t)o.

Newton denotaba o al pequeño incremento del tiempo t y escribía ẋ  para la derivada, a la que llamaba la fluxión de la cantidad x que fluye. Además, imaginaba la tangente como un secante que cortaba a la curva en dos puntos muy próximos que se confundían en uno.

Fig.9. Obra de Newton sobre fluxiones.

En el cálculo de áreas, de nuevo el filósofo Leibniz acertó con el signo adecuado: expresó el área limitada por la curva y=f (x) el eje de abscisas y las ordenadas x=a,b, de la forma ∫_a^bf dx donde el símbolo ∫ representa la inicial “s” estilizada de la palabra “suma”, recordando la visión del área como “suma de líneas” que tuviera Cavalieri. Con esta notación, el resultado de Fermat comentado antes se escribe

∫_o^a x^k dx=(a^k+1)/(k+1).

Donde Newton y Leibniz marcaron la diferencia con sus predecesores y contemporáneos fue en producir la anastomosis entre el cálculo diferencial y el integral, usando la nueva visión del cálculo infinitesimal para resolver problemas hasta entonces sin solución. La esencia de la anastomosis radica en la consideración de la integración (áreas) como operación inversa de la derivación (tangentes) a través de lo que se dio en llamar el teorema fundamental del cálculo, un resultado que conocía Barrow, maestro de Newton, pero le pasó desapercibida su crucial importancia, siendo para él uno más en el bosque de sus teoremas geométricos. 

Viendo el área bajo la curva y=f (x) como una magnitud variable

A(x)=∫_a^x f dx,

Newton y Leibniz consideraron como una cuestión de principio, que cada uno argumentó a su manera, que la derivada de esta función es la función inicial: Aʼ(x)=f (x). Como al derivar la suma de constantes no cuenta, cualquier función F (x) que verifique F ʼ(x)=f (x) (llamada primitiva de f (x) y denotada ∫f dx) servirá para calcular la integral mediante el teorema fundamental del cálculo:

∫_a^b f dx=F(b) - F(a).

Para cerrar el proceso de invención del cálculo infinitesimal falta saber calcular derivadas y primitivas de funciones. Esto estaba claro con los polinomios, basta saber hacerlo con el caso simple y=x^k, ya conocido por Fermat y otros incluso con exponentes fraccionarios.

Pero en tiempos de Newton y Leibniz iban apareciendo otras relaciones funcionales, no solo las fracciones y las raíces con polinomios, también las vinculadas al trabajo que los astrónomos hacían para la navegación, los senos y cosenos junto con otras razones trigonométricas y sus inversas. A ellas se añadieron a lo largo del siglo XVII los logaritmos, creados por el astrónomo Napier y el relojero Briggs a principios del siglo y más tarde relacionados con las áreas bajo la hipérbola y=1/x por matemáticos como Saint Vicent y Sarasa. Otro matemático muy vinculado a los asuntos de la navegación y los mapas, Mercator, trabajando al estilo de los indivisibles de Cavalieri, encontró en los inicios del último tercio del siglo una variante funcional de las sumas infinitas numéricas, dando para el cálculo de logaritmos el desarrollo en serie de potencias

log(1+x)=x - (x²/2)+(x³/3) - (x⁴/4)+···,

que permitía mayor facilidad y precisión en la obtención de tablas. A esta suma infinita funcional, se sumaron otras con el nombre de series de potencias, como esta que resulta del simple algoritmo de división de polinomios:

1/(1 - x)=1+x+x²+x³+···,

cuyos sumandos van decreciendo cuando x<1. Vimos los casos x=1/2, 1/4, unas páginas atrás. En estos asuntos trabajaba también Wallis, otro de los maestros de Newton, gran experto en sumas infinitas.

Este es el recurso que en manos de los genios Newton y Leibniz cerró la bóveda del cálculo infinitesimal, consiguieron desarrollar en series de potencias las funciones elementales entonces conocidas y las consideraron como “polinomios con puntos suspensivos”, derivando e integrando término a término en dichos desarrollos. Así, resultará

logʼ(1+x)=1/(1+x )   ,      ∫(1/(1+x))dx =log(1+x).

En la obtención de los desarrollos en series de las funciones tuvo un papel muy destacado la extensión que Newton hizo de la conocida fórmula del binomio para expresar las funciones (1+x)^k con exponente entero negativo o fraccionario como una serie de potencias con infinitos términos.

Enseguida se dieron las reglas para derivar productos y cocientes, se crearon tablas de primitivas y se formuló la integración por partes,

xy=∫xdy+∫ydx,

etc. El cálculo infinitesimal se puso en marcha.

Fig.10. Diagrama de la integración por partes.

Para verificar su potencia y dejar claro que se trataba de un gran paso de la humanidad, cada uno de los dos genios fundadores resolvió problemas hasta entonces imposibles. Leibniz resolvió el problema que De Beaune había planteado a Descartes, lo hizo mediante una ecuación diferencial cuya solución encontró usando logaritmos. Como parte de sus investigaciones sobre el movimiento, Newton completó el estudio de la curvatura de las curvas que había iniciado Huygens.

La gran obra de Newton, uno de los logros más imponentes del pensamiento humano, fue formular las leyes generales del movimiento de los cuerpos, estudio iniciado por Galileo, y deducir de ellas las leyes de Kepler inducidas a partir de datos observacionales. Para la exposición de su dinámica, Newton prefirió seguir el método sintético de la geometría de Euclides y no el analítico, lo que dificultó la comprensión de su obra y la de sus seguidores británicos, como Maclaurin o Taylor. Pero matemáticos posteriores de la Europa continental desarrollaron y completaron la teoría newtoniana haciendo uso del cálculo infinitesimal analítico, que es el modo natural de expresión matemática de dicha teoría.

El cálculo alienta el progreso y se reformula.

La geometría analítica y el cálculo infinitesimal empezaron inmediatamente a dar frutos en la matemática pura (resolución de problemas matemáticos) y en las matemáticas mixtas (aplicadas a la mecánica y otras ciencias). A finales del siglo XVII y principios del XVIII ya había una amplia cantidad problemas importantes resueltos con los nuevos métodos, principalmente por los fundadores y los hermanos suizos Johann y Jakob Bernoulli, seguidores de Leibniz.

A lo largo del siglo XVIII la geometría analítica del plano y del espacio quedó consolidada, pero el cálculo infinitesimal todavía no. Aparecieron libros que ayudaban a estudiarlo: el del Marqués de L’Hospital, fruto de las lecciones recibidas de Johann Bernoulli, y el de la italiana Caetana Agnesi, ambos muy ligados al estudio de curvas. Siguiendo la onda continental, en la segunda parte del siglo llegaron los notables libros de Euler y Lagrange planteando el cálculo como una teoría de las funciones autónoma, dejando las cuestiones sobre curvas y superficies para las aplicaciones. Por otra parte, ambos autores expresaron la dinámica de Newton con la nueva herramienta matemática, lo que alcanzó forma acabada en la Mecánica analítica de Lagrange (1788), que refrendó el valor indudable del cálculo infinitesimal.

Fig.11. Obras de L’Hospital (izda) y Euler (dcha) sobre infinitesimales.

Pero la matemática pura exige también, desde los Elementos de Euclides, que las justificaciones de los métodos empleados estén bien consolidadas con lógica deductiva y en esto la situación inicial del cálculo infinitesimal fue deficiente: triunfaba como método de invención y aplicación, pero adolecía de una justificación suficiente. En la Enciclopedia francesa de Diderot y D’Alembert aparecen las cantidades infinitesimales o diferenciales como parte de los registros matemáticos, pero también en el apartado de metafísica, donde se discute si son cantidades reales o meras ficciones sometidas a un álgebra específica y capaces de producir explicaciones de la realidad. En este aspecto los infinitesimales eran como el éter o el vacío.

D’Alembert aconsejaba a sus estudiantes que no hicieran demasiadas preguntas sobre el fundamento del álgebra de los infinitesimales, pero que se afanaran en aplicarlos con éxito a los más diversos problemas prácticos cuya solución impulsaba el progreso. Sin embargo, él mismo se ocupó de salvar el escollo metafísico, fue un adelantado en la teoría de los límites que usamos hoy, en la que radicaba, decía, “la verdadera metafísica del cálculo infinitesimal”.

Ya en el siglo XIX, su compatriota Cauchy (1821) hizo desaparecer los infinitesimales sustituyéndolos por la teoría de límites que se estudia hoy, en la que la derivada se expresa como un límite del cociente incremental:

f  ʼ(x)=lim_e→0 (f(x+e) - f(x))/e.

También las integrales se definen desde Cauchy como límites de sumas de áreas por exceso y por defecto. No obstante, cuando se usa el cálculo con fines prácticos, sigue siendo valiosas las intuiciones de los infinitesimales.

Hacia los años treinta, Fourier dio un nuevo impulso heurístico al cálculo con su teoría del calor, en la que usaba con inusitada libertad desarrollos de las funciones en series infinitas de senos y cosenos, cuyos coeficientes calculaba mediante integrales. Las series trigonométricas de Fourier tuvieron un enorme éxito aplicado y necesitaron una costosa adaptación al rigor conceptual, al que se aplicaron los matemáticos europeos que dieron forma acabada al cálculo infinitesimal cuando ya recibía nombres como teoría de funciones o análisis matemático. Para ello hubo que esperar hasta el último tercio del siglo XIX, cuando se fundamentó con rigor aritmetizado (Cantor, Dedekind, Weierstrass) el número real que modela el continuo.

Mediante el cálculo infinitesimal, Gauss completó el estudio de la curvatura de las superficies (1827) y a partir de su trabajo concibió Riemann (1854) la noción abstracta de un espacio matemático curvo y multidimensional con diferentes tipos de métrica, dejando para los físicos la tarea de determinar el modelo matemático que corresponde a la realidad material que ellos examinan. Cuando, en los primeros años del siglo XX, Einstein formuló los principios físicos de la mecánica relativista, la exposición matemática de su teoría se realizó en un espacio-tiempo con métrica de Riemann.

Bibliografía, lecturas de ampliación (solo en lengua española):

(1) Boyer, C. B., Historia de la matemática, Alianza Ed., Madrid, 1991.

(2) Durán, A. J., Una historia, con personajes, de los conceptos del cálculo, Alianza Ed., Madrid, 1996.

(3) Kline, M., El pensamiento matemático de la antigüedad a nuestros días, Alianza Ed., Madrid, 1992.             

(4) González Urbaneja, P. M., Las raíces del cálculo infinitesimal en el siglo XVII, Alianza Ed., Madrid, 1992.

(5) Rey Pastor, J., Curso de cálculo infinitesimal, Madrid, 1962. Con un apéndice sobre la evolución y los precursores del cálculo infinitesimal.

(6) Rey Pastor, J., Babini, J., Historia de la matemática, 2 vols., Gedisa, Barcelona, 1984.

(7) Thompson, S. P., El cálculo infinitesimal al alcance de todos, Madrid, 1932.

Luis Español González

Profesor Titular de Geometría y Topología.

Historiador de las Matemáticas.

Departamento de Matemáticas y Computación.

Universidad de La Rioja.